林琦焜

一、前言 二、凸函數 三、Jensen 不等式的意義 四、Legendre 變換 五、Jensen 不等式之應用

一、前言

凸函數的出現絕非偶然，在古典力學中的動能 ，就是最自然直接的凸函數，其他如熵 (entropy)……等皆是，當然從幾何的角度而言就是拋物線。近代分析由於受凸分析研究所得之進展的影響，使得在非線性分析，非線性微分方程皆有長足之進展與突破，其中較重要的就是逐漸將非線性 (nonlinearity) 視為一個體，而非只是線性化 (linearization) 而已。凸函數是如此地美麗且重要，而一般教科書只是提個定義然後定理之後便是習題。對於這樣的數學，我們實在不滿足地無法忍受，畢竟數學要教導我們聰明並學習如何去思考。因此本文秉持此原則，將著重於幾何與物理直觀，並與一些相關聯的領域作一些對應，以思索在我們前面的那些數學巨人是如何思考問題。