蔡聰明

甲、一個機率問題 乙、n! 的馴服 丙、Stirling 公式的證明 丁、初步否定常識性的機率概念

甲、一個機率問題

什麼是一個事件 (event) 的機率？這是機率論最基本也是爭論最多的一個問題。

舉最簡單的例子來說明：丟一個公正銅板 (fair coin)，出現正面 (head) 的機率為 這是什麼意思呢？常識性的解釋大致是，將此銅板獨立地丟「很多」次，那麼正面出現的次數「大約」佔一半，這是在隨機的說不準中很確定的事情。所謂的「平均律」(the law of averages) 或「大數法則」(the law of large numbers) 隱隱約約就是指著這個解釋。不過，常識往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精煉。事實上，「數學是精煉的常識」(Mathematics is refined common sense)。常識是我們作觀念探險之旅的出發點。

問1：

丟 2n 次銅板，正面恰好出現 n 次的機率有多大？

根據組合學，丟 2n 次銅板，共有 2²ⁿ 種可能結果，假設每一種結果發生的機會均等，那麼 2n 次中有 n 次為正面的結果共有 _2nC_n 種，故得機率為

(1)

我們更有興趣的問題是，當 n 趨近 時，p_2n 會趨近於多少？ 上述常識性的解釋似乎是說， ， 這成立嗎？這需要對(1)式作精確的估算，於是引出了下面的

問 2：

當 n 很大時，如何估算？更明確地說：當 n 趨近 時，n! 的漸近相等式 (Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一個「好用」(a_n) 使得

我們希望找到這樣的 (a_n)，然後代入(1)式中計算出極限值 ，就可以檢驗上述常識性的機率解釋是否正確。

n! 的漸近相等式存在嗎？如何找？這就來到了 Stirling 公式的大門口。在文獻上，有許多文章論述 Stirling 公式的簡化證明或機率式的證明（參見[1]至[9]），不過都只是在已經知道公式後，給出證明而已，並沒有說出如何「看出」或「猜出」公式的追尋、探險過程。因此令人有「美中不足」或「未盡妙理」的感覺。本文我們就試著來補上這個缺憾，展示一種推測式的猜想過程。我們不排斥還有其它猜想過程因為登一座山可以有各種不同的路徑，路徑越多越美妙。