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談 Stirling 公式 (第 4 頁)

蔡聰明

 

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.原載於數學傳播第十七卷第二期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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丁、初步否定常識性的機率概念

現在我們要利用 Stirling 公式來探討機率之謎 (the enigma of probability)。 首先觀察到一個顯然的

補題6:
(an)(bn)(cn)(dn) 皆為正項數列且 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = l$。若 $a_n \sim c_n$$b_n \sim d_n$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c_n}{d_n} = l$

接著計算「丟 2n 次銅板恰好出現 n 次正面的機率 p2n$n \rightarrow \infty$ 的極限」

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \rightarrow \infty} p_{2n} &=& \lim_{n \rightarrow \in...
...} \\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0
\end{eqnarray*}


定理3: $ \lim_{n \rightarrow \infty} p_{2n} = 0$

因此,當 $n \rightarrow \infty$ 時,p2n 不但不如原先料想的趨近於 1(即鐵定發生),反而是趨近於 0(即不可能發生)。 這警告我們,機率的解釋要很小心。

常識性的說法:「丟很多次銅板正面大約佔一半。」如果將「大約佔一半」, 解釋為「恰好是一半」的點式推估說法,顯然是不對的。如何修正呢? 自然想到的是改用區間式推估的說法(用手海底撈針不成,就改用網子來撈)。

為了敘述方便起見,我們引入隨機變數 (random variable) 的概念。 對於 k=1, 2, 3 …,令隨機變數

\begin{displaymath}
\xi_k = \left\{
\begin{array}{ll}
1,&\mbox{ {\fontfamily{cwM...
...{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 222}}
\end{array}\right.
\end{displaymath}

再令

\begin{displaymath}S_n = \xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_n\end{displaymath}

這也是一個隨機變數,定義在某個機率空間 (Ω, F, P) 上,代表丟 n 次銅板中,正面出現次數之隨機變數,它具有二項分佈。 於是「S2n=n」就表示丟 2n 次銅板正面恰好出現 n 次的事件, 其機率記為 P(S2n=n)。因此定理3是說 $\lim_{n \rightarrow \infty} P(S_{2n}=n)=0$

進一步我們猜想:S2n 落在 n 的近旁之機率應該會大起來吧? 也許這是「正面大約佔一半」更貼切的解釋。精確的計算是探求隱晦奧秘的不二法門, 讓我們就來算算看。令 a > 0 唯一個固定數,那麼

\begin{eqnarray*}
P(n-a \leq S_{2n} \leq n+a) & = & \sum_{k=n-a}^{n+a} \, _{2n}C...
...ty \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 118}}
\end{eqnarray*}


因此我們又得到一個不出所料的結果:

定理4: 對任意固定數 a > 0

\begin{displaymath}\lim_{b \rightarrow \infty} P( \mid S_{2n} - n \mid \leq a ) = 0\end{displaymath}

換言之,以 n 為中心,左右之長皆為 a 之區間,還是沒有網住任何機率!

另外,將偶數 2n 改成奇數 2n+1,定理4仍然成立。因為當 $n \rightarrow \infty$ 時,相應項的比值為

\begin{displaymath}
\frac{ _{2n+1}C_k \frac{1}{ 2^{2n+1} } }{ _{2n}C_k \frac{1}{...
... \frac{2n+1}{2n+1-k} \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2}
\end{displaymath}

所以

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ P( -a \leq S_{2n+1} - \frac{2n+1}{2} \leq a ) } \\
...
...^{a+ \frac{2n+1}{2}}
\, _{2n}C_k \frac{1}{2^{2n}} \rightarrow 0
\end{eqnarray*}


所以得到

定理5: 對任意有限正數 a,琣

\begin{displaymath}\lim_{n \rightarrow \infty} P(-a \leq S_{2n+1} - \frac{2n+1}{2} \leq a) = 0\end{displaymath}

將上述定理4與定理5歸結起來就得到:
定理6: 對任意有限正數 a,恆有

\begin{displaymath}\lim_{n \rightarrow \infty} P(-a \leq S_n - \frac{n}{2} \leq a) = 0 . \end{displaymath}

這是一個令人驚異的結果,但也令人失望!邏輯的悶棍把常識的觀點打得眼冒金星。用任何有限區間 [-a,a] 來網羅住 $S_n - \frac{n}{2}$ 所散佈之機率,當 $n \rightarrow \infty$ 時,根本沒有往到任何機率,機率全部流失掉!換言之,丟 n 次銅板,出現正面的次數,落在包含 $\frac{n}{2}$ 的任何有限區間的機會,當 n 很大時,微乎其微。

什麼是機率?它仍然是「雲深不知處」!

James Bernoulli(1654∼1705)積20年的辛苦工作終於得到突破性的發現:

定理7:(Bernoulli 的弱大法則,1713)
對任意 $\xi > 0 , \lim_{n \rightarrow \infty} P( \mid \frac{S_n}{n} - \frac{1}{2} \mid \leq \xi ) = 1$

   
 
註記

1. 從外形看起來,Stirling 公式並不漂亮,但卻很多用途,它是揭開許多深刻奧秘的鑰匙。在研究二項分佈的性質時,De Moivre 最先得到這個公式(1718年);後來 James Stirling 在1730年又重新得到它。在數學中有許多定理所掛的名字往往不是第一個發現者,此地是一個例子。

2. 從前楊維哲教授上機率論課,曾要求學生獨立地去追尋 Stirling 公式,本文算是一個回應。

3. n! 的連續變化就是 Gamma 函數,內容精彩豐富,這是 Euler 的貢獻。

   
 
參考文獻

1. M. I. Aissen, Some remarks on Stirling formula, A. M. M. 61 (1954) , 687-691.
2. H. Robbins, A remark on Stirling's formula, A. M. M. 62 (1955), 26-29
3. W. Feller, A direct proof of stirling's formula, A. M. M 74 (1967), 1223-1225.
4. R. A. Khan, A probabilistic proof of Stirling's formula, A. M. M. 81 (1974), 366-369.
5. C. S. Wong, A note on the central limit theorem, A. M. M. 84 (1997), 472.
6. C. R. Blyth and P. K. Pathak, A note on eazy proofs of Stirling's formula, A. M. M. 93 (1986), 376-379.
7. P. Diaconis and D. Freedman, An elementary proof of Stirling's formula, A. M. M. 93(1986), 123-125.
8. J. M. Patin, A very short proof of Stirling's formula, A. M. M. 96 (1989), 41-42.
9. G. Marsaglia and J. C. W. Marsaglia, A new derivation of Stirling Approximation to n!, A. M. M. 97 (1990), 826-829.

   

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編輯:簡立欣 / 校對:簡立欣 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002