談 Stirling 公式 (第 4 頁)

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談 Stirling 公式（第 4 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第十七卷第二期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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丁、初步否定常識性的機率概念

現在我們要利用 Stirling 公式來探討機率之謎 (the enigma of probability)。首先觀察到一個顯然的

補題6：: 設 (a_n)，(b_n)，(c_n) 及 (d_n) 皆為正項數列且 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = l$ 。若 $a_n \sim c_n$ 且 $b_n \sim d_n$ 則 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{c_n}{d_n} = l$ 。

接著計算「丟 2n 次銅板恰好出現 n 次正面的機率 p_2n 在 $n \rightarrow \infty$ 的極限」

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} p_{2n} &=& \lim_{n \rightarrow \in... ...} \\ &=& \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0 \end{eqnarray*}$

定理3： $\lim_{n \rightarrow \infty} p_{2n} = 0$ 。

因此，當 $n \rightarrow \infty$ 時，p_2n 不但不如原先料想的趨近於 1（即鐵定發生），反而是趨近於 0（即不可能發生）。這警告我們，機率的解釋要很小心。

常識性的說法：「丟很多次銅板正面大約佔一半。」如果將「大約佔一半」，解釋為「恰好是一半」的點式推估說法，顯然是不對的。如何修正呢？自然想到的是改用區間式推估的說法（用手海底撈針不成，就改用網子來撈）。

為了敘述方便起見，我們引入隨機變數 (random variable) 的概念。對於 k=1, 2, 3 …，令隨機變數

$\begin{displaymath} \xi_k = \left\{ \begin{array}{ll} 1,&\mbox{ {\fontfamily{cwM... ...{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 222}} \end{array}\right. \end{displaymath}$

再令

$\begin{displaymath}S_n = \xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_n\end{displaymath}$

這也是一個隨機變數，定義在某個機率空間 (Ω, F, P) 上，代表丟 n 次銅板中，正面出現次數之隨機變數，它具有二項分佈。於是「S_2n=n」就表示丟 2n 次銅板正面恰好出現 n 次的事件，其機率記為 P(S_2n=n)。因此定理3是說 $\lim_{n \rightarrow \infty} P(S_{2n}=n)=0$ 。

進一步我們猜想：S_2n 落在 n 的近旁之機率應該會大起來吧？也許這是「正面大約佔一半」更貼切的解釋。精確的計算是探求隱晦奧秘的不二法門，讓我們就來算算看。令 a > 0 唯一個固定數，那麼

$\begin{eqnarray*} P(n-a \leq S_{2n} \leq n+a) & = & \sum_{k=n-a}^{n+a} \, _{2n}C... ...ty \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 118}} \end{eqnarray*}$

因此我們又得到一個不出所料的結果：

定理4：對任意固定數 a > 0，

$\begin{displaymath}\lim_{b \rightarrow \infty} P( \mid S_{2n} - n \mid \leq a ) = 0\end{displaymath}$

換言之，以 n 為中心，左右之長皆為 a 之區間，還是沒有網住任何機率！

另外，將偶數 2n 改成奇數 2n+1，定理4仍然成立。因為當 $n \rightarrow \infty$ 時，相應項的比值為

$\begin{displaymath} \frac{ _{2n+1}C_k \frac{1}{ 2^{2n+1} } }{ _{2n}C_k \frac{1}{... ... \frac{2n+1}{2n+1-k} \cdot \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{2} \end{displaymath}$

所以

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ P( -a \leq S_{2n+1} - \frac{2n+1}{2} \leq a ) } \\ ... ...^{a+ \frac{2n+1}{2}} \, _{2n}C_k \frac{1}{2^{2n}} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

所以得到

定理5：對任意有限正數 a，恒有

$\begin{displaymath}\lim_{n \rightarrow \infty} P(-a \leq S_{2n+1} - \frac{2n+1}{2} \leq a) = 0\end{displaymath}$

將上述定理4與定理5歸結起來就得到：

定理6：對任意有限正數 a，恆有

$\begin{displaymath}\lim_{n \rightarrow \infty} P(-a \leq S_n - \frac{n}{2} \leq a) = 0 . \end{displaymath}$

這是一個令人驚異的結果，但也令人失望！邏輯的悶棍把常識的觀點打得眼冒金星。用任何有限區間 [-a,a] 來網羅住 $S_n - \frac{n}{2}$ 所散佈之機率，當 $n \rightarrow \infty$ 時，根本沒有往到任何機率，機率全部流失掉！換言之，丟 n 次銅板，出現正面的次數，落在包含 $\frac{n}{2}$ 的任何有限區間的機會，當 n 很大時，微乎其微。

什麼是機率？它仍然是「雲深不知處」！

James Bernoulli（1654～1705）積20年的辛苦工作終於得到突破性的發現：

定理7：（Bernoulli 的弱大法則，1713）: 對任意 $\xi > 0 , \lim_{n \rightarrow \infty} P( \mid \frac{S_n}{n} - \frac{1}{2} \mid \leq \xi ) = 1$ 。

註記

1. 從外形看起來，Stirling 公式並不漂亮，但卻很多用途，它是揭開許多深刻奧秘的鑰匙。在研究二項分佈的性質時，De Moivre 最先得到這個公式（1718年）；後來 James Stirling 在1730年又重新得到它。在數學中有許多定理所掛的名字往往不是第一個發現者，此地是一個例子。

2. 從前楊維哲教授上機率論課，曾要求學生獨立地去追尋 Stirling 公式，本文算是一個回應。

3. n! 的連續變化就是 Gamma 函數，內容精彩豐富，這是 Euler 的貢獻。

參考文獻

: 1. M. I. Aissen, Some remarks on Stirling formula, A. M. M. 61 (1954) , 687-691.
: 2. H. Robbins, A remark on Stirling's formula, A. M. M. 62 (1955), 26-29
: 3. W. Feller, A direct proof of stirling's formula, A. M. M 74 (1967), 1223-1225.
: 4. R. A. Khan, A probabilistic proof of Stirling's formula, A. M. M. 81 (1974), 366-369.
: 5. C. S. Wong, A note on the central limit theorem, A. M. M. 84 (1997), 472.
: 6. C. R. Blyth and P. K. Pathak, A note on eazy proofs of Stirling's formula, A. M. M. 93 (1986), 376-379.
: 7. P. Diaconis and D. Freedman, An elementary proof of Stirling's formula, A. M. M. 93(1986), 123-125.
: 8. J. M. Patin, A very short proof of Stirling's formula, A. M. M. 96 (1989), 41-42.
: 9. G. Marsaglia and J. C. W. Marsaglia, A new derivation of Stirling Approximation to n!, A. M. M. 97 (1990), 826-829.

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編輯：簡立欣 ∕ 校對：簡立欣 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002