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非標準微積分簡介 (第 5 頁)

鄭穗生

 

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.原載於數學傳播第十五卷第四期
.作者當時任教於清大數學系
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五、積分

上節例題說明導數可經由非標準分析法定義。同樣,積分也可透過黎曼和作為分割長度的函數的自然擴張達成定義。簡單來說,對於一定義於區間 [a,b] 上之實函數 f,取正數 h,並在 [a, b] 上取分點 a,a+h,a+2h, $\cdots\cdots$, a+nh,b;這 n 是使 $a+nh \leq b$ 成立之最大整數,則黎曼和

\begin{eqnarray*}
S(h) &=& f(a)h + f(a+h)h + \cdots\cdots \\
&& {} + f(a+nh)h + f(b)(b-a-nh)
\end{eqnarray*}


h 的函數。如 $h \approx 0$ 而且 $h \neq 0$ 時,*S(h) 是有限超函數,則其標準部稱為 f 在 [a, b] 上之積分。

不難證明,如 f 連續,*S(h) 必為有限超實數(故積分存在)。另外,積分中值定理及可加性亦成立。既然如此,則微積分基本定理成立,而且積分與一般定義之黎曼積分無異。

   

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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002