非標準微積分簡介 (第 4 頁)

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非標準微積分簡介（第 4 頁）

鄭穗生

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任教於清大數學系
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四、超實數函數及自然擴張

定義域與值城為超實數的函數稱超實數函數。部份超實數函數可由實函數以一極自然方法定義而成。設 $f: R \rightarrow R$ ，對 $< r_1, r_2, \cdots >$ $\in {}^*R$ ，定義

$\begin{displaymath} {}^*f(< r_1,r_2,\cdots >) = \; < f(r_1),f(r_2),\cdots > \end{displaymath}$

超實數函數 ^*f 稱為 f 的自然擴張。這裡要注意一點，實數 $<a, a, a, \cdots\cdots>$ 亦記作 a，故有 ^*f(a) = f(a)。

有了上述準備工作後，賦值方法，除了極限之外，也可透過下述方法達成。

: 定理：設 $f: R \rightarrow R$ 。如對所有無限接近，而不等於實數 a 的超實數 x，^*f(x) 無限接近實數 A，則 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A$ 。反之亦成立。

這定理的證明不難，主要是利用 $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A$ 的充要條件為 $f(x_n) \rightarrow A$ 對所有以 a 為極限的數列 $<x_1, x_2, x_3, \cdots\cdots >$ 成立（見 [1])）。

例：設 $f(x) = x \sin{(\frac{1}{x})}$ ，f(0) 可任定。設 x 為非零之無窮小，st(x)=0, $x \neq 0$ 。則由於 $\vert x \sin(\frac{1}{x})\vert \leq \vert x\vert$ ，所以 ^*f(x) 亦為無窮小，故其標準部為零。即 $\lim_{x \rightarrow 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$ 。

例：函數 $f: R \rightarrow R$ 在點 $a \in R$ 連續之充要條件為 $x \approx a$ $\Rightarrow$ ${}^*f(x) \approx f(a)$ 。

例：連續實函數 f,g 之複合 $f \circ g$ 必連續：如 $x \approx a$ ，則 ${}^*g(x) \approx g(a)$ ，故 ${}^*f({}^*g(x)) \approx f(g(a))$ ！

例：函數 $f: R \rightarrow R$ 在點 $a \in R$ 有導數 b 之充要條件為 $x \approx a$ ， $x \neq a$ $\Rightarrow$ $\frac{{}^*f(x)-{}^*f(a)}{x-a} = b$ 。

例：如： $g: R \rightarrow R$ 在點 a 可導而且 $f: R \rightarrow R$ 在點 g(a) 可導，則 $(f \circ g)' (a)$ = f'(g(a)) g'(a)。

這事實之證明如用極限法會稍稍有一點技術上之困難。但利用非標準分析法，則極為容易。事實上，設 $x \approx a$ ， $x \neq a$ 。如 ^*g(x)=^*g(a)，則

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{{}^*f({}^*g(x))-{}^*f({}^*g(a))}{x-a} = 0 \approx 0 } \\ &=& f'(g(a))g'(a) \: . \end{eqnarray*}$

如 ${}^*g(x) \neq {}^*g(a)$ ，則

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{{}^*f({}^*g(x))-{}^*f({}^*g(x))}{x-a} }\\ &=... ... \frac{{}^*g(x)-{}^*g(a)}{x-a}\\ & \approx & f'(g(a))g'(a) \: . \end{eqnarray*}$

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文

最後修改日期：4/26/2002