非標準微積分簡介 (第 2 頁)

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非標準微積分簡介（第 2 頁）

鄭穗生

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任教於清大數學系
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二、超實數

微積分基本目標之一，是描繪事物屬性間各關係（實變函數）以及發展一套處理這些關係的數學工具（如導數及積分）。其中一項重要工具即為極限法。究其實質，極限法是一種賦予函數「該有的值」的方法。例如，賦予 1+2+3+ $\cdots\cdots$ 「該有的值 + $\infty$ 」；利用割線斜率與坐標的函數關係賦予曲線在某點該有的斜率為導數等等。其實，極限法並非唯一賦值方法。回想在沒有無理數時，為了賦予單位方形斜邊長度的值。我們可利用有理數列定義出無理數 $\sqrt{2}$ 。基於同樣精神，我們也可以實數列 $<r_1,r_2,\cdots\cdots>$ 製造一類新的數集：我們任找一個可將自然數 N 分為大小兩類，而且有限的自然數集必屬小類的有限測度 m（確實定義見附錄）。兩實數列 $<a_1, a_2, \cdots\cdots>$ , $<b_1, b_2, \cdots\cdots>$ 稱為幾乎處處相等，如集合 { n | a_n = b_n } 屬大類。不難驗證，幾乎處處相等關係為一定義在所有實數列 $<r_1,r_2,\cdots\cdots>$ 上的等價關係。這樣，我們即成功定義出一類超實數 ^*R 集合，其中每一元素為一含所有幾乎處處相等數列之等價集 [ $< r_1, r_2, \cdots >$ ]（以後為了方便，該集合以代表 $< r_1, r_2, \cdots >$ 表示）如果現在我們再進一步定義

$\begin{eqnarray*} <a_n> + <b_n> &=& <a_n+b_n> \\ <a_n> \cdot <b_n> &=& <a_n \cdot b_n> \end{eqnarray*}$

如 {n| a_n < b_n } 屬大類。則不難驗證 ^*R 具類似實數 R 之所有代數及次序性質。不但如此在

$\begin{displaymath} a \in R \; \rightarrow <a, a, \cdots \cdots > \; \in \; {}^*{\bf R} \end{displaymath}$

之意義下，不妨將 R 視作 ^*R 之一子集（而且下面即作此假定）。顯然，^*R 還包含非實數。事實上，^*R 包含「無窮小」及「無窮大」。

: 定義：對所有正實數 a 都成立 -a < x < a 之超實數 x 稱無窮小。對某正實數 a 成立 -a < x < a 的超實數 x 稱有限，而非有限之超實數稱為無窮大。

例如，0, $< 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\cdots>$ , $<1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \cdots\cdots>$ 為無窮小；<n> 為正無窮大，<-n²> 為負無窮大。今說明 $< 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\cdots>$ 為無窮小如下：對任一實數 a，數列 $< 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\cdots>$ 中，除有限項外，所有其他的項皆處於 -a 及 a 之間，即為證明。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文

最後修改日期：4/26/2002