非標準微積分簡介 (第 3 頁)

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非標準微積分簡介（第 3 頁）

鄭穗生

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任教於清大數學系
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三、無窮小，有限超實數以及無窮大

無窮小相乘或無窮小之線性組合為無窮小，非零無窮小之倒數為無窮大，零為唯一之實無窮小，等等之理易由定義推知。其他較複雜之情形則可由運算推出。舉例如下。

: 例：當 $\epsilon \neq 0$ 是一個無窮小，則 $\frac{5 \epsilon^5 +4 \epsilon^4 + \epsilon}{2 \epsilon}$ ，由於等於 $\frac{5}{2}\epsilon^4$ $+2\epsilon^3$ 為無窮小。
: 例：當 H 是一個正無窮大時，則 $\sqrt{H+1}-\sqrt{H-1}$ ，由於等於 $\frac{3}{\sqrt{H+1}-\sqrt{H-1}}$ ，為一無窮小（這裏要先證明無窮大之平方根為無窮大）。

上述無窮小及無窮大運算法與極限法運算極為類似。對於有限超實數，我們還有下述定理：

: 標準部存在定理：任一有限超實數 x 必可表為唯一之實數 a 以及唯一無窮小 $\epsilon$ 之和。

此定理中之存在性可由實數之完備性（見 [1]）推出。唯一性是因為如 $x=a_1 + \epsilon_1$ $= a_2 + \epsilon_2$ 為實無窮小，故必為零。

上述定理中之實數 a 稱為超實數 x 之標準部，記為 st(x)。換另一種說法，我們不妨稱二相差為無窮小的超實數 a,b 為無限接近（記為 $a \approx b$ ）則一超實數 x 必與唯一之實數 st(x) 無限接近。無窮小之標準部顯然為零。

標準部之計算可基於下列性質：如 a,b 為有限超實數，則 $st(a \pm b)$ $= st(a)\pm st(b)$ ， st(ab) = st(a) st(b)， $st(\frac{a}{b}) = st(a) / st(b)$ 如 $st(b) \neq 0$ ， $st(a^{\frac{1}{n}}) = (st(a))^{1/n}$ 如 $a \geq 0$ 及 n 為正整數， $st(a) \leq st(b)$ 如 $a \leq b$ 。

例：已知 st(x) = 2 而且 $x \neq 2$ ，則

$\begin{eqnarray*} st(\frac{x^2-x-6}{x^2-4}) &=&st(\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}) \\ &=&\frac{st(x)+3}{st(x)+2} =\frac{5}{4} \: . \end{eqnarray*}$

例：已知 H 為一正無窮大，則

$\begin{eqnarray*} st(\frac{5H^3-3H}{7H^3+4H}) &=& st(\frac{5-\frac{3}{H^2}}{7+... ...5)-3st(\frac{1}{H^2})}{st(7)+4st(\frac{1}{H^2})} = \frac{5}{7} \end{eqnarray*}$

（注意，H² 為無窮大， $\frac{1}{H^2}$ 為無窮小，故 $st(\frac{1}{H^2})$ 為零。）

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文

最後修改日期：4/26/2002