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非標準微積分簡介 (第 3 頁)

鄭穗生

 

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.原載於數學傳播第十五卷第四期
.作者當時任教於清大數學系
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三、無窮小,有限超實數以及無窮大

無窮小相乘或無窮小之線性組合為無窮小,非零無窮小之倒數為無窮大,零為唯一之實無窮小,等等之理易由定義推知。其他較複雜之情形則可由運算推出。舉例如下。

例: 當 $\epsilon \neq 0$ 是一個無窮小,則 ${\displaystyle \frac{5 \epsilon^5 +4 \epsilon^4 + \epsilon}{2 \epsilon} }$,由於等於 $\frac{5}{2}\epsilon^4$ $+2\epsilon^3$ 為無窮小。

例: 當 H 是一個正無窮大時,則 $\sqrt{H+1}-\sqrt{H-1}$,由於等於 $\frac{3}{\sqrt{H+1}-\sqrt{H-1}}$,為一無窮小(這堶n先證明無窮大之平方根為無窮大)。

上述無窮小及無窮大運算法與極限法運算極為類似。對於有限超實數,我們還有下述定理:

標準部存在定理: 任一有限超實數 x 必可表為唯一之實數 a 以及唯一無窮小 $\epsilon$ 之和。

此定理中之存在性可由實數之完備性(見 [1])推出。唯一性是因為如 $x=a_1 + \epsilon_1$ $= a_2 + \epsilon_2$ 為實無窮小,故必為零。

上述定理中之實數 a 稱為超實數 x 之標準部,記為 st(x)。換另一種說法,我們不妨稱二相差為無窮小的超實數 a,b 為無限接近(記為 $a \approx b$)則一超實數 x 必與唯一之實數 st(x) 無限接近。無窮小之標準部顯然為零。

標準部之計算可基於下列性質:如 a,b 為有限超實數,則 $st(a \pm b)$ $= st(a)\pm st(b)$st(ab) = st(a) st(b)$st(\frac{a}{b}) = st(a) / st(b)$$st(b) \neq 0$$st(a^{\frac{1}{n}}) = (st(a))^{1/n}$$a \geq 0$n 為正整數, $st(a) \leq st(b)$$a \leq b$

例: 已知 st(x) = 2 而且 $x \neq 2$,則

\begin{eqnarray*}
st(\frac{x^2-x-6}{x^2-4}) &=&st(\frac{(x+3)(x-2)}{(x+2)(x-2)}) \\
&=&\frac{st(x)+3}{st(x)+2} =\frac{5}{4} \: .
\end{eqnarray*}


例: 已知 H 為一正無窮大,則

\begin{eqnarray*}
st(\frac{5H^3-3H}{7H^3+4H})
&=& st(\frac{5-\frac{3}{H^2}}{7+...
...5)-3st(\frac{1}{H^2})}{st(7)+4st(\frac{1}{H^2})}
= \frac{5}{7}
\end{eqnarray*}


(注意,H2 為無窮大,$\frac{1}{H^2}$ 為無窮小,故 $st(\frac{1}{H^2})$ 為零。)

   

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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 最後修改日期:4/26/2002