淺談機率上的幾個極限定理 (第 5 頁)

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淺談機率上的幾個極限定理（第 5 頁）

洋洋

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．原載於數學傳播九卷三期

‧註釋
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4.遞疊對數定理(Law of Iterated Logarithm)：

有第三節的開始我們提到了弱大數法則的缺點。其實強大數法則也有同樣的問題。譬如說在例2.1中我仍只知道在賭博次數 n 相當大時，甲方所得 S_n 介於 $-n\varepsilon$ 與 $n\varepsilon$ 之間。由於 ε 可以任意小， $\pm\varepsilon$ 並不能視為對S_n 的一個很好的估計。LIL則確切地告訴我們 S_n 能好或壞到什麼程度：

在與中央極限定理相同的假設下，

$\begin{displaymath}P\{w:\limsup_n\frac{S_n(w)-n\mu}{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=1\}=1\end{displaymath}$

由對稱性，

$\begin{displaymath}P\{w:\liminf_n\frac{S_n(w)-n\mu}{\sqrt{2n\sigma^2\log\log n}}=-1\}=1\end{displaymath}$

此處和以下出現一對數函數 $\log$ 都是以e為底的自然對數。讓我們先解釋一個數列 $a_1a_2\cdots$ 的 $\limsup a_n$ 及 $\liminf a_n$ 的意義。如果我仍把數列{a_n} 看成一個集合，且在實數軸上逐一點出，那麼有些點的附近會被一再地點到，這種點我們稱做數列{a_n} 的叢聚點(accumulation point)。數列{a_n}的叢聚點可能有很多個，其中最大的一個我仍就把它記成 $\limsup a_n$ ，至於 $\liminf a_n$ 則是指叢聚點中最小的一個。譬如 $a_n=(-1)^n\frac{1}{n}$ ，則 $\limsup a_n=\liminf a_n=0$ ，這時 $0=\lim a_n$ ，所以 $\lim a_n$ 與{a_n}的最大點 $a_2=\frac{1}{2}$ 並不一樣。又譬如 $a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}$ 則 $\limsup a_n=1,\liminf a_n=-1$ ，此時因兩者不相等， $\lim a_n$ 不存在。

根據LIL，在例2.1中甲方賭博n次所得S_n滿足

$\begin{displaymath}-(1+\epsilon)\sqrt{2n\log\log n}\leq S_n\leq(1+\epsilon)\sqrt{2n\log\log n}\end{displaymath}$

而且有許許多多次。(即有無窮多個n)，

$\begin{displaymath}S_n\geq(1-\epsilon)\sqrt{2n\log\log n}\end{displaymath}$

這個結果比強大數法則的

$\begin{displaymath}-n\varepsilon\leq S_n\leq n\varepsilon\end{displaymath}$

要準確多了，注意此處的 n 可能隨著賭局而變動，也就是說 n 是 w 的函數。

同樣的道理在(2.3)式中的S_n滿足 $(\mu=0.1,\sigma=0.3)$

$\begin{displaymath}P\{x\in(0.1)\limsup_n\frac{S_n(x)-\frac{n}{10}}{\sqrt{n\log\log n}}=0.3\sqrt{2}\}=1\end{displaymath}$

換句話說我們不但知道數位0在x的小數展開裡出現的頻率是0.2我們也知道幾乎所有的x 的小數展開式前面n個位數中0出現約達 $\frac{n}{10}+0.3\sqrt{2n\log\log n}$ 次的這種n有無窮多個。

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編輯：趙竑鈞 ∕ 校對：黃怡碧

最後修改日期：4/26/2002