第一節的討論把幾何三大問題變成代數問題。要證明這三個作圖問題只利用直尺與圓規是作不出來的，我們就要證明 , , ，其中 。

先給幾個定義。

定義：

令 U 為一個體，n 個複數 x₁,…,x_n 叫做在 U 上線性獨立(linearly independent over U) 的意思是說，以下的關係不可能成立， ，其中 ，某些 。如若不然， x₁,…,x_n 叫做在 U 上線性相依。

例如，1 與 在 Q 上線性獨立，1 與 在Q () 上線性相依。 同理，如果把線性獨立的概念推廣到二度空間的向量，那麼兩個向量 與 在實數 R 上， 線性獨立的充分條件是 OV₁V₂ 是一個真正的三角形（沒有退化成線段）。

定義：

若 U 與 V 都是體，且 U<V（U 是 V 的子體），我們要定義 V 相對 U 的維數，記為 [V:U]。定義： 的意思是說存在 n 個數 x₁,…,x_n ，且 x₁,…,x_n 在 U 上線性獨立。 如果 ，且 ，（其中 x₁,…,x_n 在 V 上線性獨立， ：其中 ），則我們把 [V:U] 定為 n。

例如

現在我們可以證明以下幾件事：

(1) 若 u₁,…,u_n 是 n 個數，且

則

(2) 若 ，則 [Q(u):Q]=2ⁿ；若 ，則 ， 其中 n 與 m 是非負的整數。

(3) 大於任意正整數。事實上，對於任意正整數 n,1,π,,…, 在 Q 上線性獨立。當然，1,π,,…, 。

(4)

(5) ，如果 ，且 是 上的不可約多項式。 ⁴

第(1)的證明，利用數學歸納法，只要注意 1 與 u_i+1，在 上線性獨立，

只要利用(1)與上一節的定理，就可得到第(2)。

第(3)是非常困難的，我們還會繼續討論。

第(4) 1,, 在 Q 上線性獨立，且 。

第(5) 1，x,x² 在 上線性獨立，且

綜合(2)與(5)，可知 的充要條件是多項式 是 上的不可約多項式。 可以證明，當 ，，， 或不為零的代數數（見下節）， 是 上的不可約多項式。

綜合(2)與(4)，可知 。

因此，古希臘幾何三大問題是無解的，得證。

以上的證明，讀者如果還不十分清楚，請參考以下書籍：

F. Klein,《Famous problems of elementary geometry》。
N. Jacobson,《Basic Algebra I》。

Klein 的書寫得明白曉暢，極適合初學者。這本書討論幾何三大問題比本文更詳盡。 余介石先生曾翻譯本書，名為《幾何三大問題》，收在商務印書館人人文庫之內。 可惜這本書中譯本字跡模糊，印刷粗陋，極傷目力。

如果讀者具備一些基本的抽象代數的知識，Jacobson 的書也可以參考。

幾何三大問題在十九世紀才獲得解決。在十九世紀初期法國數學家 Evariste Galois（1811∼1832年）發明 Galois theory 來解決五次或五次以上不可約方程式有沒有根式解的問題。在 Galois theory 中，體的擴張 (extension) 是一個基本的概念。只要具備體的擴張的幾個基本概念，如維數、有理化分母、維數的相乘性，就可以解決三等分角問題與倍立方問題。1837年，Pierre Laurent Wantzel（1814∼1848）提出這兩個問題的解法。幾千年來困擾人類的難題，一夜之間變成一個簡單的習題。

至於方圓問題，因為要證明：對於任意正整數 n,1,π,…, 在 Q 上線性獨立（也就是π是一個超越數，見下節），是一件比較麻煩的事。這件事，直到 1882年，才由德國數學家 Ferdinand Lindemann（1852∼1937年）予以證明。

但是天下的事總是禍福相倚，利弊互補的。三等分角問題與倍立方問題的解決，並沒有帶給數學家太多的好處。方圓問題的解決卻替數學家開闢一個新天地，那就是超越數的理論。