古希臘幾何三大問題是，在只准使用（沒有刻劃的）直尺與圓規的限制之下，求解以下的作圖問題

1. （方圓問題） 求作一個正方形，使其面積和半徑為 1 的圓面積相等；
2. （倍立方問題） 求作一個正立方體，使其體積為邊長為 1 的正立方體的 2 倍；
3. （三等分角問題） 三等分任意已知角。
4. 以上問題的 1 是任意選定的單位長度。 ¹

在歐氏平面幾何學中，我們知道古希臘人能夠做出長度為任意有理數的線段；他們也能做出長度為 、、 的線段。他們能夠做圓內接（或外切）正五邊形、正六邊形。但是他們始終做不出以上三個作圖問題。 因此他們認為這三個問題一定是非常困難的，以後的歷史證明的確如此。

簡單的分析一下，方圓問題其實是要做出長度為 的線段，倍立方問題是要做出長度為 的線段。三等分角問題也極為類似，因為如果給我們一個角度 θ， ，（假設已經選好單位長度）我們就可以求得 ，令其為 α。如果我們能夠求出 ， 我們就可以做出 的角度。但是，

歸根究底，所謂幾何三大問題無非是，給定一個單位長度；

1. （方圓問題） 求作一個長度為 的線段。
2. （倍立方問題） 求作一個長度為 的線段。
3. （三等分角問題） 先給長度為 α 的線段，求作一個長度為 x 的線段，而 x 滿足 。

問題既然轉化成這種形式，我們當然要問：到底有那些長度是作得出來的？那些長度是做不出來的？如果我們令

S = { r : r 是任意實數；在給定單位長度 1 時，我們利用直尺與圓規可以作出長度為 |r| 的線段 }。

那麼，方圓問題與倍立問題變成 與和 是否在 S 之內。同樣的，令

T = {r : r 是任意實數；在給定單位長度 1 與另一長度 α 時，我們利用直尺與圓規可以做出長度為 |r| 的線段 }。

很顯然的，S 與 T 都包含有理數，並且 、、 、 都落在 S，也落在 T。

由比例定理可知，如果 ，則 。可知 S 是實數的子集合，並且 S 之內可做加、減、乘、除之後，仍然落在 S 之內。同理可討論 T。

更重要的是，如果 ，取 1 與 a 的等比中項，則 （若 a>0）。如果 ， 且 x²-ax+b=0，則 （若a²-4b>0）。因此，如果一個二次方程式的兩根都是實數， 且其係數都在 S，則此二根也在 S。

到底 S 與 T 是什麼樣的集合呢？在討論這個問題之前，我們先給一個定義。

定義： 若 U 是複數的一個至少含有兩個元素的子集合，且 U 之內的任意兩個元素做加、減、乘、除（0 不能做除數），其結果仍然落在 U 之內，則 U 稱為一個體(field)。 ²

定義： 若 Q 表示所有有理數的集合，u 是任意實數，定義 其中 f(T)，g(T) 是 Q 上的多項式，且 }。同理，若 U 是一個體，可定義 U(u)。 很容易檢查 U(u) 仍然是一個體。利用歸納法，我們把 定義為 ，把 定義為 。

所謂的幾何作圖，無非是保證我們能夠做出直線：aX+bY=c。與圓 (X-a₁)²+(Y-b₁)²=c₁²，其中 a，b，c，a₁，b₁，c₁ 都是已給定的線段的長度。我們當然可以讓直線與直線相交，直線與圓相交，圓與圓相交。 除此之外，我們是無能為力了。讓直線 aX+bY=c 與圓 (X-a₁)²+(Y-b₁)²=c₁² 彼此相交，其交點座標如果是 (x,y)，則 或 ，其中 。（為什麼？）因此我們證明了以下的定理。

定理：

(1) 的充分必要條件是存在 r₁,r₂,…,r_n=r， 使得 ，i=0,1,2,…,n-1。

(2) 的充分必要條件是存在 r₁, r₂,…,r_n=r，使得 ，i=0, 1, 2,…,n-1。