數最先只是人類計數（counting）的工具。因此人類最先所能想到的數只是正整數而已。

把數的概念應用到日常生活碰到的長度、面積、重量的問題，我們可以用數來表示線段的長度或鉛球的重量。因此數變成了量度（measure）的工具。

把數變成量度的工具，我們立刻發現正整數不夠用。我們既然能夠把三尺長的布裁成兩半，我們就應該能夠把3分成兩半。因此有理數的出現並不令人感到突然。

把數當作量度的工具，令人驚奇的是，有些線段的長度並不是有理數。因此人類不得不造出實數。

有理數和實數是兩種基本的數系，他們的共同性質如下。

對於任意數 r,s,t，恆有

[結合律]

[交換律]

[零的特性]

[1的特性]

[加法可逆性] 對於任何r存在一個唯一的-r, 使得

r+(-r)=0

[乘法可逆性] 對於任何，存在一個唯一的（稱為r的倒數），使得

[分配律]

對於任意兩個數r，s，下列三種情形只有一種成立：r<s，r=s，r>s。

若r>s，s>t，則r>t。

若r>0，則-r<0。

若r>s，則r+t>s+t。

若r>s，t>0，則 。

以上的各種性質是最理想的數系所能夠具備的性質。同學不妨自己檢查，自然數系或整數系具備那些性質，不具備那些性質。

但是並不是具備以上性質的才能叫做數系。像複數系具備以上大部分性質，但是我們不能在複數系裡面定義具備以上所有性質的大小次序關係。 （理由：假設可以。（1）先證明 -1 < 0：若 -1 > 0，則 1 = -(-1) < 0；另一方面 1=(-1)(-1) 是兩個正數乘積，故 1>0，矛盾。（2）導出一個矛盾現象：若i>0，則 -1 = (i)(i) > 0，矛盾；若 i<0， -1 =(-i)(-i)>0，矛盾。）

去追究「什麼叫做數系」實在不是一件要緊的是，要緊的是：只有在實際上有需要時，我們才會從一個數系推廣到另一個數系。從一個數系推廣到另一個數系，我們可能得到一些新的性質，同時也可能失去一些舊數系所具有的性質。

數學的目的是幫助人類解決各種問題，而不是設下幾條金科玉律要學生去遵守奉行，永不逾越。能夠協助解決人類文明發展過程所遭遇的問題的數學，才是我們所需要的數學。數學的精神是自由 ⁵ 。