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數的概念 (第 3 頁)

康明昌

 


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.原載於數學傳播第六卷第四期、第七卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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3.有理數系

正整數是從古代以來人類計數(counting)的工具。可以說,從「一頭牛,兩頭牛」或是「五個人,六個人」抽象化成正整數的過程是相當自然的。事實上,我們有時候把正整數叫做自然數(the natural numbers)。

從現代的觀點來看,「負數」(the negative numbers)的概念是很簡單的。 但是負數的誕生以至人類廣泛的接受負數的概念卻是一段遙遠漫長的路程。 負數和零的概念是印度人創造的,這些概念在文藝復興時代才傳入歐洲。經過四、五百年的考驗,直到十九世紀,歐洲人才安心的使用負數與零。

正整數、零,和負整數合稱整數(the integers)。整數是人類能夠掌握的最基本的數學工具。十九世紀德國偉大數學家 Kronecker因此說:「只有整數是上帝創造的,其他的都是人類自己製造的。」 2

有理數(the rational numbers)是可以表示成$\frac{q}{p}$的型式的數,其中pq是整數,$p\neq 0$。有理數就是同學所熟知的分數。

用Kronecker的話來說,有理數雖然不是上帝創造的,上帝並不禁止人類使用有理數。當我們想要解方程式

\begin{displaymath}px=q\,\mbox{, {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \ch...
...fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98},}\, p\neq 0\end{displaymath}

我們就不得不求助於有理數。

在有理數系堶情A我們可以做加、減、乘、除。不過要注意,0不能做除數。兩個有理數可以比較大小。

如果我們取一條直線(如下圖),任選一點當作0,取一個單位向量,在0的右邊一個單位向量的地方標上1,在0的左邊一個單位向量的地方標上-1。我們由平面幾何的作圖方法,可以得到任意長度$\frac{q}{p}$的線段,因此我們可以把任意有理數$\frac{q}{p}$標在這條直線上。我們恆把正有理數標在0的右邊,負有理數標在0的左邊。這樣得到的直線叫做數軸(the number axis)。



有理數在數軸上的分佈簡直是濃濃密密,擁擠得不得了。任何兩個相異的有理數ab之間,一定可以找到一個有理數,理由很簡單:可以假設a<b,那麼$\frac{a+b}{2}$就是一個介於ab之間的有理數。同理,如果你認為只找出一個有理數未免太少了,你要找更多個,例如,找出99個介於ab之間的有理數,那麼 $a+\frac{b-a}{100}$$a+\frac{2(b-a)}{100}$$a+\frac{3(b-a)}{100}$,…, $a+\frac{99(b-a)}{100}$就是一組答案。

問題:有理數能不能把數軸填得滿滿的,毫不遺漏?

這個問題是我們在下一節所要討論的主題。這個問題相當於,是不是任意有限線段長度都是有理數?

   
 
習題5

1.證明兩個相異的有理數之間有無窮多個有理數。
2.若ab是任意兩個有理數,且a>0

證明:存在一個正整數n,滿足na>b

3.證明任意有理數都可以表示成循環小數。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/30/2002