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數的概念 (第 4 頁)

康明昌

 


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.原載於數學傳播第六卷第四期、第七卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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4.實數系

是不是任意有限線段的長度都是有理數?

邊長為1的正方形的對角線的長度是$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ 是不是有理數?

例題:
試證 $\sqrt{2}$ 不是有理數。

證明:
用歸謬法證明。

假設$\sqrt{2}$是有理數。因此 $\sqrt{2} =\frac{q}{p}$ ,其中pq是正整數。我們可以把pq的公因數約掉,所以不妨假設pq的最大公因數是1。

因為 $\sqrt{2} =\frac{q}{p}$ ,故得2= $\frac{q^2}{p^2}$ 。因此q2是偶數。如果q是奇數,則q2也是奇數(理由:若q=2n+1n是整數,則q2=(2n+1)2=2(2n2+2n)+1 是奇數)。因此q是偶數,q=2nn是正整數。

(2n)2=q2=2p2。因此,p2=2n2 ,得p2是偶數,故p是偶數。

pq都是偶數,則其最大公因數不可能是1。與最先的假設違反。得證$\sqrt{2}$不是有理數。

從以上的討論,可以發現:雖然有理數稠密的分佈在數軸上,但是並不是數軸上的每一個點都可以用有理數表示。

顯然,在實際應用上的有理數系是不夠用的。我們要加進一些新的數,如 $\sqrt{2}$$\sqrt{3}$$\sqrt{5}$$\sqrt[3]{2}$$\sqrt[5]{\sqrt[7]{2} +\sqrt[4]{3}}$,把有理數擴充成實數(the real numbers)。不是有理數的實數就叫做無理數(the irrational numbers)。

同學可能會提出一些問題:

問題1.實數系是怎樣建造出來的?
問題2.無理數是不是都可以用開方得到的,像$\sqrt{2}$$\sqrt[3]{2}$$\sqrt[5]{\sqrt[7]{2} +\sqrt[4]{3}}$
問題3.為什麼要把實數區分成有理數和無理數?證明$\sqrt{2}$不是有理數究竟有什麼用處?
問題4.是不是數軸上所有的點都可以用實數表示?

以上四個問題其實都不是很容易回答的。我們解釋如下。

第一個問題。嚴格的建造實數系是十九世紀七十年代才完成的,這要歸功於 C. Méary(1835 - 1911), G. Cantor(1845 - 1918), H. E. Heine, R. Dedekind(1831 - 1916), K. Weierstrass(1815 - 1897)。同學可能會說:「我們只要規定實數系是數軸上所有的點,這樣就造出實數系了。」用這方法定義出來的實數系理論至少有兩個缺點:一、不嚴格,表面上我們似乎很熟悉數軸上的點,其實不然。例如,數軸上這個點和那個點究竟有什麼共同的地方和不同的地方,如1, $\sqrt{2}$, π,我們並不清楚。又如,數軸上某些點集合,如 [0,1]、( $\frac{1}{3}$$\frac{2}{3}$)、( $\frac{1}{9}$$\frac{2}{9}$$\cup$$\frac{7}{9}$$\frac{8}{9}$)、 …,有什麼幾何性質並不是一目瞭然的。二、我們不容易由此得到實數系的基本的性質, 如完備性(completeness)。因此十九世紀建造實數系的方法, 是用整數和有理數做基礎,運用某些相當精妙的手法建立的。有興趣的同學可以參考本文的附錄, 「如何建造實數系?」

第二個問題的答案是否定的。並不是所有的無理數都是用開方得到的。實數可以分成兩種, 一種是代數數(the algebraic numbers), 一種是超越數(the transcendental numbers)。

一個實數 α 是代數數,如果

\begin{displaymath}a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_1\alpha +a_0=0\end{displaymath}

其中 ai 是整數且$a_n\neq 0$

一個實數 α 是超越數,如果

\begin{displaymath}a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_1\alpha +a_0=0\end{displaymath}

其中ai是整數,則必定是a0=a1=…=an=0。

圓周率π是超越數,這是一個相當困難的定理,這個定理其實是古希臘幾何作圖的三大難題之一 3$\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{2}$,或是任意有理數都是代數數。

但是並不是所有的代數數都可以用開方得到。例如,x5-4x+2=0 的根都是代數數,但是卻不能用開方的方法得到。要證明這件事, 必須借助 Galois 理論。Galois 理論是一門高深的數學理論,是十九世紀法國天才數學家Évariste Galois(1811-1832)創造的 4

用開方得到的無理數,在無理數堶情]甚至代數數堶情^所佔的比例實在非常小。

第三個問題,為什麼要把實數區分成有理數和無理數?這其實是西方數學發展的過程所產生的問題。 希臘人非常強調整數的重要性。所以有理數也自然的變成最基本的數學概念。因此, 當希臘人找到一個無理數時,他們的思想界產生了一次非常劇烈的混亂。反過來看中國數學的發展,對中國人而言,數就是整數再附上小數,小數點後面的數可以無窮無盡的點下去。所以對於古代的中國數學家,$\sqrt{2}$是不是有理數,並不是一個不得了的問題。他們想都沒想過這問題。

第四個問題的答案沒有人知道。因此 Georg Cantor(1845-1918)在1872年提出一個解決的方法,把它當作是對的,不必去證明,這就是以下的

Cantor 公設:所有的實數和數軸上的點成一對一的對應。

像有理數一樣,實數之間可以作加、減、乘、除(不過0不能作除數)。任意兩個實數可以比較大小。

我們介紹一個新的概念:絕對值。在以下實數軸中,P 點代表 3,Q 點代表 -3。



OPOQ有什麼不同呢?OP的方向是向右的,而OQ的方向是向左的。

OPOQ有什麼共同點呢?他們的長度都是3。我們規定3的絕對值是3,-3 的絕對值也是3,記做

\begin{displaymath}\vert 3\vert=3\, , \vert-3\vert=3\end{displaymath}

一般的說,如果a是任意實數,定義

\begin{displaymath}\vert a\vert=
\left\{
\begin{array}{rl}
a&\mbox{, {\fontfamil...
...fontseries{m}\selectfont \char 74}}a< 0 \\
\end{array}\right.
\end{displaymath}

|a|叫做a的絕對值。

|a|恆為正數或零。若R點是數軸上代表a的點,則|a|OR線段的長度。

絕對值有下列重要性質:

1. $\vert ab\vert=\vert a\vert\cdot \vert b\vert$;若$a\neq 0$$\vert\frac{b}{a} \vert$= $\frac{\vert b\vert}{\vert a\vert}$
2. $-\vert a\vert\leq a\leq \vert a\vert$
3.若a>0,則|x|<a $\Leftrightarrow$-a<x<a$\vert x\vert\geq a$ $\Leftrightarrow$$x\geq a$$x\leq -a$
4.(三角不等式)

\begin{eqnarray*}
\vert a+b\vert&\leq&\vert a\vert+\vert b\vert\mbox{,} \\
\ver...
...t\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}} \\
\end{eqnarray*}


5.若a為任意實數,則 $\sqrt{a^2} =\vert a\vert$

證明:
1. $\vert ab\vert=\vert a\vert\cdot \vert b\vert$

ab有一為0,則左=右=0。其次依a>0a<0,以及b>0b<0,共四種情形,分別驗證。

同理可證 $\vert\frac{b}{a} \vert$= $\frac{\vert b\vert}{\vert a\vert}$,若$a\neq 0$

2.證明亦分a>0a=0a<0為之。
3.設|x|<a,則因 $-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$,以及 |x|<a-a<-|x|,得 -a < x < a

反之,若 -a<x<a,則若 $x\geq 0$a>x=|x|,若 x<0,由 -a<xa>-x=|x|,故得 |x|<a

4.因

\begin{displaymath}-\vert a\vert\leq a\leq \vert a\vert\end{displaymath}


\begin{displaymath}-\vert b\vert\leq b\leq \vert b\vert\end{displaymath}

兩式相加,

\begin{displaymath}-(\vert a\vert+\vert b\vert)\leq a+b\leq(\vert a\vert+\vert b\vert)\end{displaymath}

由性質3,

\begin{displaymath}
\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert \eqno{(1)}
\end{displaymath}

b-b代入(1)式得

\begin{displaymath}\vert a-b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert\end{displaymath}

在(1)式中,用(a-b)及b代替ab,得 $\vert a-b\vert+\vert b\vert\geq \vert a\vert$

\begin{displaymath}\vert a-b\vert\geq \vert a\vert-\vert b\vert\end{displaymath}

同理可得, $\vert b-a\vert\geq \vert b\vert-\vert a\vert$,合併上兩式,由性質3

\begin{displaymath}\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leq \vert a-b\vert\end{displaymath}

5.按規定,若x>0$\sqrt{x}$表正的平方根,故若$a\neq 0$$\sqrt{a^2}$的正平方根為|a|。故若a為實數恆有

\begin{displaymath}\sqrt{a^2} =\vert a\vert\end{displaymath}

   
 
習題6

1.對於任意n個實數 a1,a2,…,an,試證

\begin{displaymath}
\vert a_1+a_2+ \cdots +a_n\vert \leq \vert a_1\vert + \vert a_2\vert + \cdots + \vert a_n\vert
\end{displaymath}

2.試求|x2-2x+3||(x-1)(2-x)||-1-x2|
3.若x是任意實數,試證

\begin{displaymath}\vert x-1\vert+\vert x-2\vert+\vert x-\sqrt{5} \vert\geq \sqrt{5} -1\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}}\end{displaymath}

4.試證$\sqrt{3}$不是有理數。
5.試證 $\frac{1}{10} + \frac{1}{10^{2!}} + \frac{1}{10^{3!}} + \frac{1}{10^{4!}} + \cdots + \frac{1}{10^{n!}} + \cdots$,不是有理數,其中 $n! =1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$。 (這個數其實是超越數,其證明已經超出高中範圍。)
6.試證 $\sqrt[7]{\sqrt[3]{2} +\sqrt{3}}$ 是代數數。
7.若 α 滿足 $a_n\alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_1\alpha + a_0 =0$,其中 ai 是有理數,且$a_n\neq 0$。試證 α 是代數數。
8.如果我們把正有理數排成以下次序

\begin{displaymath}
\frac{1}{1} ,\frac{2}{1} ,\frac{1}{2} ,\frac{3}{1} ,\frac{2}...
...} ,\frac{2}{3} ,\frac{1}{4} ,
\frac{5}{1} ,\frac{4}{2} ,\cdots
\end{displaymath}

試證 $\frac{q}{p}$ 是在第 $\frac{1}{2}$(p+q-1)(p+q-2)+q 項出現。
9.(1)若有理數$\frac{q}{p}$(pq是互質整數,$p\neq 0$)是方程式anxn+ an-1xn-1+ …+a0=0的根,其中ai是整數,$a_n\neq 0$。試證p可整除anq可整除a0

(2)試證 $\sqrt{2} +\sqrt[3]{2}$$\sqrt{3} +\sqrt[3]{2}$都不是有理數。

10.(1)試證任何兩個相異的有理數之間至少有一個無理數。(提示:若r是正有理數,則0 $<\frac{r}{2}\sqrt{2}$<r,且 $\frac{r}{2}\sqrt{2}$是無理數。)

(2)試證任何兩個相異的有理數之間有無窮多個無理數。

11.(1)試證任意的有理數與無理數之間有無窮多個有理數,也有無窮多個無理數。(提示:設r<sr是有理數,s是無理數,我們只要在rs之間找個有理數就夠了。由Cantor公設,$\frac{1}{s-r}$是某個有限線段的長度,故$\frac{1}{s-r}$<n其中n是某個正整數。因此$\frac{1}{n}$<s-rr $<r+\frac{1}{n}$<s。)

(2)試證任一兩個相異的無理數之間有無窮多個有理數,也有無窮多個無理數。(提示:設r<srs都是無理數。先找一個正整數n使得$\frac{1}{n}$<s-r。因此ns-nr>1,所以nsnr之間必有一個整數m。故nr<m<ns,得r$<\frac{m}{n}$<s。)

12.(Archimedes性質)若xy是任意兩個實數,且x>0試證:必可找到一個正整數n使得nx>y

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/30/2002