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.原載於數學傳播第三卷第三期
 

談統計應用

鄧進財

 
 

唸純數的常挖苦唸統計的說:「你們唸統計的常以算術平均數來代表全體 (population),那麼你們一手泡在沸水中,另一手浸在冰水中,一定會感到很舒服,因為你們的平均感受只有 $50^{\circ}$C 而已。」 而唸統計的也不甘示弱的說:「你們唸純數的說 a=b, b=c,則 a=c,那麼你們一定會熱愛女朋友的另一個愛人,因為你們愛你們的女朋友,而你們的女朋友愛另一位男朋友,所以你們也會愛你們的情敵。」當然,這都是「自古文人相輕」「外行批評內行」的寫照。事實上,唸過統計的人都知道全體十分集中時,以算術平均數代表全體始有意義;而學過數學的人也都明瞭「等號」是必須具備有傳遞性的(此即,若 a=b, b=ca=c),可是,上述所說的「愛」並不滿足傳遞性。

在面對不確定情況下,統計是一種能夠幫助我們做出聰明決策的科學方法。下面,讓我們來談談統計應用的一些實例。


例題1. 一計程車問題

國外某地的計程車較少,一位統計學者在該地的某街角等候計程車,眼看來了幾部計程車都載客而過,這位統計學者開始懷疑這個城市到底有幾部計程車,以致於不夠應用。於是他開始記下載客而過的計程車車號,依次如下:

405, 280, 73, 440, 179

接著來了一部空車,載走了統計學者。

假如該城市計程車的編號是從1號開始連續編排下來,而且空的計程車走在城堸耋H機性的環繞,那麼,你若是這位統計學者,你將如何從上述記錄的資料來推測該城市共有幾部計程車?

這個問題的估計方法很多,在此我們將簡介兩種簡單的估計方法,並加以粗略的檢定。

   
 
一、平均差距法

假設該城市計程車的編號是連續的,而第一部的編號為 1,最後一部設為 M。 現在,如果我們能夠猜測第 440 部計程車與第 M 部之間的差距,那麼我們就可以 正確的推測 M 的數值。從直覺上,讀者可由圖1 得知:我們可引用前五部車號的平 均差距,來代表第 440 部與最後一部之間的差距,因此我們可以推測

\begin{displaymath}
M=440+\frac{1}{5} (72+105+100+124+34)=440+\frac{1}{5} (440-5)=440+87=527
\end{displaymath}

統計學者上車後,詢問司機這個城內究竟有幾部計程車,結果司機回答說: 城埵@有 550 部計程車。則根據上述的平均差距法所做的估計,其相對誤差僅 為 (550 - 527) /550 = 0.04,因此,上述的估計方法是十分的理想。



圖1:平均差距法

   
 
二、中位數法

圖2顯示這五部計程車車號的中位數為280,根據抽樣的特性,亦即樣本足以代表整個 全體的特性,我們可以合理的推測280也可能是城堜狾陪p程車車號的中位數,則

(M+1)/2=280

亦即 M=559,此與實際數值550部的相對誤差為( 559 - 550) /500 = 0.02, 因此採用中位數的估計方法,也是十分的美好。



圖2:中位數法

事實上,我們上面所介紹的方法是數列分析 (serial number analysis) 中最簡單而理想化的解法,因為實際上計程車的編號並不是從1號連續下來的,而且計程 車所環繞的路徑,通常並不是隨機性的亂兜圈子。數列分析在第二次世界大戰時,盟 軍曾用以分析、估計戰場上德軍戰車的數量,戰後發現利用這種統計方法估計德軍戰 車的數量相當精確。

   

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編輯:陳文是 最後修改日期:4/26/2002