中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家 （第 2 頁）
蔡辰理
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中國數學史上的黃金時代及其四個偉大的數學家 （第 2 頁） 蔡辰理
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秦九韶生存於南宋治下，正史裏沒有他的列傳。他一生的蹤跡只能從許多零星的記載中費心地去還原。為秦九韶立傳所碰到的困難， 是探討這四大數學家生平際遇、也是研究古代中國科學家一致的困難。綜合許多記載，如周密的《癸辛雜識續集》、《景定建康志》以及後人錢大昕的《十駕齋養新錄》，我們知道：他祖籍山東魯郡，一生遊歷甚多，大部份活躍於四川。秦九韶的少年時代，正是天下動盪，虜騎肆虐的時候，「年十八在鄉里為義兵首」。 端平三年(1236)，蒙古軍攻入四川，他率家人逃往東南避難，「既出東南，多交豪富」，居家於湖州西門外，建堂於苕水之上「極其宏敞，……皆極精妙，用度無算」，這可見他歷任縣尉、通判、州守等，宦囊是很富裕的。但他性格上似乎頗有缺點，周密說他「如不喜者必遭毒手，其險可知也」，劉克庄說他「暴如虎狼，毒如蛇蠍」。我們不必費心追查這些， 總之他是個「性極機巧，星象、音律、算術以至營造等事無不精究」的人。
他的不朽之作《數書九章》成於淳祐七年(1247)，從自序中可看出他寫這部書的處境， 他說：「嘗從隱君子受數學。際時狄患，歷歲遙塞，不自意全於矢石間。嘗險罹憂，荏苒十[示巽]，心槁氣落，信知夫物莫不有數也。乃肆意其間，旁諏方能，探索杳渺，粗若有得焉」。《數書九章》取名自「取八十一題厘為九類，立術具章，間以圖發之」，這九類便是：
從這些篇名中不難看出它們是基於實用目的而發展的，這也是中國數學及其他科學共有且頗為強烈的特色。
《數書九章》主要的成就在〈大衍〉、〈天時〉、〈田域〉三篇，尤其〈大衍〉裏的大衍求一術解決了整數論中一次同餘式問題。求一術原不是秦九韶獨立的發明，它是應古代天文學家推算上元積年的要求而產生的。雖然從漢代的三統曆開始便有推算上元積年的一般方法，但歷代的天文曆法家從沒有把它當作一個數學問題看待。推算上元積年是一個一次同餘式的問題；我國古代另一個著名的同餘式問題就是首次出現於《孫子算經》「物不知數」問題。 前者數字較大，但曆算家只知其然不知其所以然，後者則數字簡單心算便可算出。秦九韶將兩者聯結起來擴展成大衍求一術，因而使這個問題獲得較完全的說明和較完美的解決。（詳細與正式的解法請參考李約瑟《中國之科學與文明》卷十九，中譯本第四冊；莫宗堅先生在〈韓信點兵〉內也有詳細介紹。）
秦九韶解聯立一次同餘式的方法，五百餘年後西方才有歐拉（L. Euler, 1707∼1783）提出類似的解法， 西元一八五二年，把中國科學西傳至歐洲的功臣偉烈•亞力 (Alexander Wylie) 出版了《中國算術漫談》， 首次向歐洲人介紹大衍求一術。歐洲數學家欣賞讚嘆之餘，便把大衍求一術稱作「中國餘數定理」(Chinese Remainder Theorem)。秦九韶另一個重要成就是高次方程式的數值解法。在方程式方面他最高解到十次方程，而他所用的增乘開方法可用於任何四次方程。五百五十多年後，義大利一個數學團體提出懸賞，獎給能改良高次方程式解法的數學家，當時由魯菲尼 (Paolo Ruffini) 獲得，而這項新發現卻是中國人早於十三世紀時就已經熟知的了。高次數字方程式的近似值解法是中國首創的，歷經王孝通（唐）、賈憲（北宋）到秦九韶，由開平方、推廣到開任意高次方，不但成為中國數學的一項重要特色，而且達到了一個世界數學水準的高峰。
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在南方數學發展的同時，與南宋對峙的北方金，也有一個數學躍進發展的中心，那就是在山西與河北的南部，也可以說是太行山南段的東西兩側。 這個地區能成為發源的中心不是沒有理由的：在那個兵戈擾攘的時代裏， 這塊土地所受到的戰爭破壞最少，經濟情況遠比北方其他地區為好。 因此這塊土地上所培育出的科學家（包括數學家）為數甚多，除了我們現在要談的李治2 與稍後要談的朱世傑，還有傑出的曆算家王恂、郭守敬等人。
李治是真定欒城人（今河北欒城人），生長於異族金、元的治下。他的父親是金章宗時代的進士，他本人也在蒙古軍滅金之前考取金朝進士，後來他棄職北走，開始了艱苦的學術生涯，這是金哀宗年間的事(1232)，那時他四十一。李治的重要數學著作是《測圓海鏡》和《益古演段》。《測圓海鏡》寫成於元定宗年間(1248)，當時並沒有受到應有的重視，因而遲了三十餘年才得以刊行。這本著作是十三世紀中期中國天元術的代表著作。這「天元術」是這段數學黃金時代北方數學的代表性成就，我們應先大致認識一下它的起源和演進:以特定的符號表示未知數而設立各次冪的方程式就是「天元術」，也就是立方程。今天看這些東西也許會認為是十分簡單的代數，其實這是許多數學家孤心苦詣思考下，經過曲折發展才建立起來的。天元術僅含一個未知數，各項的係數都排成一直行，以「元」字固定一次冪的位置，「元」以上的便是正次冪，以下的為負次冪，一元方程式因而便能設立起來。例加《測圓海鏡》裏的一個式子 (如圖一所示)，寫成現在的符號便是:
x3+15x2+66x-360=0
天元術的建立方便了一元高次方程式的求根，也奠定了後來「四元術」（亦即四元方程）的基礎。很明顯的天元術的興起是受到南方高次方程求根的刺激。高次方程的發展使方程的造法越來越困難，而迫切地需要處理他們的新方法，天元術乃至四方術因而發揚光大起來。
《測圓海鏡》出書於元朝，傳至明朝隱晦了一段時期，到清代才又被幾個大數學家重新旨定。李善蘭說： 「至今後譯西國代數微積分諸書，信筆直書，了無疑義者，此書之力焉。」《益古演段》是李治繼《測圓海鏡》以後的另一部天元術著作。 書成於元憲宗年間(1259)，二十三年後才刊行問世。我們曾說《測圓海鏡》是天元術代表性的著作，而《益古演段》則是一本普及天元術的著作，李治要做到「使粗知十百者，便得入室啗其文」。中國的天元術代數學與同時代世界上其他較為先進的文明相比，阿拉伯代數是一種文字代數，只知解一次或二次方程式的正根;印度代數能考慮到負根，但是只限於二次方程式；至於西歐，那時正處於回教徒威脅下黯淡無光的黑暗時代。
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最後一位、同時也是最重要的一位便是朱世傑。早在清代，數學家就給予他很高的評價，承緒其學的王鑒說他是「兼秦（九韶）、李（治）之所長」；羅士琳說他是「兼包眾有，充類儘量，神而明之尤超越乎秦、李之上」。現在，他的重要性與成就，更是為國際所公認的，李約瑟說「有了朱世傑，中國的代數學，方才達到了高水準。」科學史大師喬治．莎東 (George Sarton) 在其名著《科學史導論》(Introduction to the History of Science) 卷三上更說「朱世傑是屬於漢民族及他所生存的時代的，同時也是古今數學史上最傑出的一位數學家，《四元玉鑒》是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中古史最傑出的數學著作之一。」
說他是最重要、最傑出的，是因為他既有秦李等人般的突破性發明，也具有楊輝般的綜合功夫。他出身於北方天元術的發展中心，不但帶領北方數學往前更進一步，也能融匯南方以楊輝為代表的日常商用數數學，給予進一步的創造。他能有如此多方面的成就，和他的身世有很大的關係。
當時，在南北政治分裂的情況下，南方的數學家對北方以天元術為代表的數學毫無所悉;相同的，北方的數學家對南方日趨蓬勃的商用數學也少有聽聞，在這種斷絕的時代裏，朱世傑的際遇是少有的。根據《四元玉鑒》他的朋友莫若的序「燕山松庭先生，以數學名家周游湖海二十餘年矣，四方之來學者已眾，……」，由此我們知道他是以「數學名家」來「周游湖海」的，那意思勿寧說他是以專業數學家的身份周游各地，和各地的數學家討論、問學，並且教授各地的學生。這和其他三位大數學家以及中國數學史上的 許 多傳統數學家都大不一樣。
如前序所說，他是燕山人，大約是在北平附近，人稱松庭先生。他的生平事跡也很模糊， 活躍的時代大約是十三世紀的後二,三十年。兩部不朽之作， 《算學啟蒙》作於大德三年(1299)，《四元玉鑒》作於大德七年(1303)。 他生存活躍的時空環境也是他成就的重要基礎之一。 《四元玉鑒》裡他的朋友祖頤的序文便很確切、 簡潔地說明了朱世傑「四元術」的淵源。序文大致是這樣說的： （如圖二）平陽（山西臨汾）蔣周撰《益古》； 博陵（河北蠡縣）李文一撰《照膽》； 鹿泉（河北獲鹿）石信道撰《鈐經》；平水（山西新絳）劉汝諧撰《如積釋銷》 ，絳人（山西新絳）元裕之《細草》，於是後人始知有天元術。這一段說明了一元方程（天元術）在山西南部、河北南部地區的興起。接著又說：平陽李德載撰《兩儀群英集臻》，兼有地元。（這是由天元而天地二元）又霍山（山西臨汾）劉大鑒撰《乾坤括囊》兼有人元（是由天地二元更進而為天地人三元）。於是在天元、天地元、天地人元的基礎上，「燕山朱漢卿（漢卿即朱世傑之字）先生演數有年，探三才之賾，索九章之隱，按天地人物立成四元。」四元術於焉誕生。求解四元高次聯立方程式的關鍵在如何從中消去三個元，最後得到只含一個未知元的高次方程式，正如清代重習四元術的數學家所說：「四元之妙，在相消。」歐洲要晚到西元一七七九年，法國數學家伯如 (Bezout) 才作出類似四元術消去法的系統解法。
《四元玉鑒》講的雖是天元、四元術的問題，但其中最精采的地方，可能還是在以「招差術」解決了高階等差級數有限項求和的問題。古典所謂「垛積問題」，也就是高階等差級數的求和問題，一直是傳統數學家所感興趣的。朱世傑掌握了一連串重要的公式，完全解決了這個問題。他在世界數學史上，第一次創造出包括有四次差的招差公式。他所創的一般性招差術，可以解決任何類型的高階等差級數的求和問題。這比牛頓在1676-1678年間所創的招差法一般公式要早了將近四個世紀。
除了這些突破性的重大發明外，他也兼融了南方的商用數學。正如《算學啟蒙》書名所顯示，這是一本由淺入深的啟蒙書。在全書之首，他以「算學啟蒙總括」，列出四則運算法則和各種常用單位換算的數據，這無疑是先把準備知識和基本數據告訴讀者；進而總括於十八條內，大半是以歌訣表示。其中「九歸除法」歌訣，便是日後珠算的歸除歌訣。
朱世傑的《算學啟蒙》不但融合了南宋以來，把歌訣當作主要表現形式的民間商用數學，並且加以創造和發揮。這本書因而成為中國古代代數學的通論，並且是《四元玉鑒》不可或缺的準備知識。《四元玉鑒》則繼承了北方數學中心的天元術，而把它發展到頂峰。這就是朱世傑成就的一個輪廓。
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| 編輯：鄧惠文 | 最後修改日期：5/3/2002 |
