用來玩拈的道具不限於銅板。工餘之時，石頭可以玩；無聊磕瓜子時，瓜子可以玩；圍棋子可以玩……。 也可以將石頭分堆放置，一堆相當於一列。這些都不是重點，我們甚至可以改變取銅板的規定，最後取光時輸贏的規定……，於是，各種不同的變型遊戲遂產生。

在拈的遊戲中，如果只有兩列銅板，則很容易看出來，留下兩列枚數相同的銅板是致勝的安全殘局。也就是我們一開始說的對稱這個想法。 事實上，包頓很巧妙的將對稱化成二進位和的各個位數為偶數，將問題給一般化，這是很天才的想法。所以兩列的拈是沒有什麼可說的。

將拈的規定略加修改，成為只有兩列的威氏遊戲，卻極其有意思。規定是這樣的，銅板只有兩列， 每列的枚數隨玩者任意規定，兩人輪流取銅板，取的時候，需要任一列中取一枚或多枚銅板，或者同時在兩列取同樣枚數的銅板， 直到最後將銅板取光的人贏。當然也可以像拈一樣有相反的規定，最後將銅板取光的人輸。今只討論前者。

拈的玩法完全不能適用於威氏遊戲。所有拈的安全殘局 {n,n}，在威氏遊戲中都是不安全殘局。因為我們加了一個規定，可以從兩列銅板中同時取相同枚數的銅板。

[例3] 若 n 是正整數，則 {0,n} 和 {n,n} 都是不安全殘局。

[例4] {1,2} 是安全殘局。因為

不管如何取，總是成為不安全殘局。

[例5] {3,5} 是安全殘局。 因為

不管對方如何取，不是到達例 3 的不安全殘局，就是你可以再適當取，使成例 4 的安全殘局。

繼續推演下去，可以得到許多組安全殘局 {1,2},{3,5},{4,7},{6,10},…。一般而言，第 n 組安全殘局 {a_n,b_n} 可由下式定義得到

(1) a₁=1,b₁=2。

(2) 若 已經求得，則定義 a_n 為未出現在以上這 2n-2 個數中的最小整數。

(3) b_n=a_n+n。

做成表就是

由(1)、(2)、(3)所定義的二數列 和 ，具有下列特性：

(甲) 數列 和 均是嚴格遞增數列，而且 b_n=a_n+n。

(乙) , 其中 N 表示正整數的集合， ,

(丙) 若 {a_n,b_n}={a_m,b_m}，則 n=m，即 a_n=a_m, b_n=b_m。

事實上，相反的，具有(甲)、(乙)性質的數列，也就是具有(1)、(2)、(3)性質的數列。

[定理] {a_n,b_n} 是威氏遊戲的安全殘局，其餘的組合 {x,y} 都是不安全殘局。

[證] 我們只要證明下面二點即可。

(1)由任何一組 {a_n,b_n} 取銅板，不管如何取，都不會成為另一組 {a_m,b_m}。

假設從一組 {a_n,b_n} 中的 a_n 取 x，b_n 取 y 而能達到另一組 {a_m,b_m}，則 a_n-x=a_m，b_n-y=b_m。

(i) 當 x=0，y>0 時，a_n=a_m 則 n=m，得 y=0，矛盾。

(ii) 當 x>0，y=0 時，b_n=b_m 則 n=m，得 x=0，矛盾。

(iii) 當 x=y>0 時， m=b_m-a_m=(b_m+y)-(a_m+x)=b_n-a_n=n，矛盾。

(2)由任一組不是 {a_n,b_n} 型的 {x,y} 可以適當取銅板使成某一組 {a_m,b_m}。為方便計，可假設 。

(i)當 x 為某個 b_m 時， y-a_m=y-(b_m-m)=(y-x)+m>0，可在 y 中取 y-a_m，變成 {b_m,a_m}。

(ii)當 x 為某個 a_m，且 y>b_m 時，在 y 中取 y-b_m，變成 {a_m,b_m}。

(iii)當 x 為某個 a_m，且 時，y-x<m，令 k=y-x，則 y-b_k=x+k-(a_k+k)=x-a_k>0。在 x 中取x-a_k，在 y 中取 y-b_k=x-a_k 則變成 {a_k,b_k}。

這個定理不但告訴我們 {a_n,b_n} 是威氏遊戲的安全殘局，其證明過程更暗含從不安全殘局取銅板變成安全殘局的法則。 我們只要記住這個法則，還有 {a_n,b_n} 組合，則無不處於優勢。但是有一個問題是，當數目很大的時候，要記住一大堆 {a_n,b_n} 是一件非常吃力不討好的工作。我們於是自然會問，有沒有像拈類似的法則用來判斷任何一組 {x,y} 是否為威氏遊戲的安全殘局， 而不必逐一計算 {a₁,b₁},{a₂,b₂} …。答案是有的，在解答這之前，我們需要談談費氏數列及相關的問題。