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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於中央大學應數系;本所編撰
 

亞基米德的秘密

李宗元;古學理

 
 

筆者之一曾在 〈祖沖之、球體公式及其他〉 (《數學傳播》第一卷第四期)一文介紹過祖沖之證明球體體積公式的辦法。這塈畯抪Q另外介紹一下,亞基米得的一個特別新奇的方法。


亞基米德和他的時代

亞基米德我想一定不必特別介紹。大家在中學堻讀過他的槓桿原理,還有他的浮體原理以及眾所皆知的裸奔(「我找到了!」)。他曾發明過許多實用工具以及軍事武器;傳說當羅馬人攻城時,他曾利用拋物鏡面聚射陽光,焚毀了不少敵人的兵船。

亞基米德(公元前287∼212年)是希臘人,生長在西西里島,(當時整個意大利南部及西西里島都在希臘版圖內。他年青的時候,曾到亞歷山大城接受教育,返回故居後也經常與那堛瑣ヰ怮O持聯繫,亞歷山大城在埃及,是當時西方世界科學文教的中心;這塈畯抾雇a提一提它的輝煌的歷史。

原來亞歷山大大帝東征西伐,建立了一個龐大的帝國後,在公元前330年左右,曾經親自精心設計,要在埃及建造一個嶄新的城市,作為這個帝國的首都──就是我們的亞歷山大城。可惜不久,新城未完,大帝已經暴斃。國家經過一段時期的混亂後,分裂成三個帝國,其中埃及部分,由一位托勒密將軍接管。他繼承了亞歷山大大帝的遺志,大力延攬世界各地學者,來到亞歷山大城,由政府金錢支助,讓他們作自由研究。這大概是世界上最早的國科會吧。托勒密王在公元前290年建造了一所研究中心,定名為 Museum(Muse 是希臘神話中司掌文學、科學、藝術等的九位女神之一;現今博物館都叫 museum,由來即在此)。另外他還建立了一個圖書館,據說擁書七十五萬之多,一時也成為世界抄書事業的中心。(請記得當時還沒有印刷術)果然不出多少年,亞歷山大城已成為西方世界文化、商業的中心了。社會的繁榮,科技的進步,自不在話下,例如當時己有蒸汽車,計程表,有水力操作的大型樂器,有用壓縮空氣操作的大砲,廟媮晹鹿~唬人的神像,利用熱空氣揮舞四肢。

以後羅馬人興起,首先征服了意大利及西西里島;亞基米德就是死在羅馬士兵手中。再以後的歷史,我們也得簡單地一提,因為它與我們下面要說的故事也很有關係。羅馬人在公元前146年征服了希臘本土。托勒密王朝的末代皇帝,就是著名的「埃及艷后」克利奧派屈拉,她死在公元前31年。早先在公元前47年時,凱撒大帝曾經放火燒光了亞歷山大城港外的埃及海軍,大火延至城內,亞歷山大圖書館藏 書幾乎全被燒光。

羅馬帝國以後又分為東西兩帝國。東羅馬帝國包括了希臘、埃及、中東及現今的土耳其。其間基督徒的興起,對早期科學有非常破壞性的影響。他們排斥多神的希臘異教,因此焚書坑儒,極力摧毀希臘文化。據記載公元392年羅馬皇明令禁止異教活動的一年,埃及一所大廟奡N有三十萬希臘書籍被焚。(這些書是當時亞歷山大圖書館收藏不下才被移來的)當時凡是記載在牛皮羊皮上的希臘文書,統統要被充公,洗去上面的文字,另抄基督徒的經典。光輝的希臘文化,從此便一蹶不振沒落至今。七世紀左右,埃及被回教徒征服,亞歷山大城中尚存的一些希臘文書,又遭受了一次火禮,許多學者都逃到康士坦丁堡(東羅馬帝國的首都,即今土耳其的伊斯坦堡)。康士坦丁堡一直拖到十七世紀左右,才被土耳其人消滅。

現在我們再回過頭來談談亞基米德。亞基米德被很多人認為有史以來三大數學家之一(其他兩人是牛頓和高斯),他曾找出許多物體的面積、體積。 他用的證明方法,叫做「窮盡法」(method of exhaustion);這個方法在歐幾里得(或更早)便曾被用過,它跟現在我們積分的定義並沒有什麼差別。例如說, 圓的面積,可以由內接多邊形及外切多邊形的面積來迫近。因此積分的觀念,早在公元前便已經有了。

我們現在讀微積分,大多是從微分開始,然後再讀到積分,這顯然不是歷史的順序:微分要到十七世紀才由牛頓,萊布尼茲等人創出。為什麼微分、積分的觀念要相差幾乎兩千年之久,可能也很自然。由於實用的緣故,人們很自然的會考慮到面積體積問題;但是速度的變化率,曲線在某點的斜率等等,顯然沒有這麼迫切的需要。

我們現在求積分,通常都會覺得還很容易(除了那些考試時才碰到的問題外)。這是因為我們知道了微分的技巧以及微分及積分之間的關係─所謂 "Fundamental theorem of calculus"。換句話說,我們求積分時,幾乎從來沒有要按照積分的定義來求取答案的。希臘人可不同了。再加他們還沒有極限的具體觀念,更不能談無窮級數的和,因此每一個問題的解答,都需要相當程度的智巧。他們證明一個物體的面積是 A 時,先假設它大於 A,再用「窮盡法」中的迫近方法,在有限步驟內得到一個矛盾,同理他們又證明這個面積也不能小於 A。這個描述似乎有些含糊,讀者耍知道詳細的情形,可以參見參考資料3。這堶n請注意的是,他們必須先認定這個面積是 A,然後再證明非它不可。

後人讀到亞基米德在面積、體積方面的許多工作,常常驚異於他證明的嚴密(遠超過牛頓時代的標準),以及他的直觀先見。尤其是後者;例如他怎樣想到這些物體的面積該是什麼呢?是不是他還有其他方法,能夠事先看出這些結果來,換句話說,他是否另有秘法?

 
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編輯:洪瑛 / 校對:黃信元 最後修改日期:4/26/2002