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亞基米德的秘密 (第 3 頁)

李宗元;古學理

 


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.原載於數學傳播第二卷第一期
.作者當時任教於中央大學應數系;本所編撰
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槓桿原理與球體公式

我們要證明,一個半徑為 r 的球,體積是 $(\frac{4}{3})\cdot \pi r^3$

現在請看圖 1-a,其中的圓,半徑為 rPABM 是一個邊長為 2r 的正方形。現在我們想像這個圖形繞軸 AB 旋轉一週。這時圖中的圓,繞出一個球來,三角形 AMN 則繞出一個圓錐體,而長方形 PMNQ 則繞出一個圓桶來。

我們看看任意一根與 AB 垂直的直線 XY。它與上半圓的交點是 G,與 AM 的交點是 F。設 $\overline{AZ}=a$, $\overline{GZ}=b$, $\overline{ZB}=c$。請注意 FZ 也等於 a。當 XYAB 轉一週時,GZ,FZ,XZ 分別繞出上述三立體(球,錐,桶)的「基本圓片」來。這堜瓵蛂u基本圓片」的意思,就是說,當 XYPQ 移動至 MN 時,這些「基本圓片」,分別依次疊合成上述三個立體。

我們知道 b2 = ac,(為什麼?)所以

a2+b2=a(a+c)=2ra,

因此

\begin{displaymath}2r\cdot \pi a^2+2r\cdot \pi b^2=a\cdot \pi 4r^2.\end{displaymath}

這個式子說什麼?考慮一個槓桿 UV,其支點為 O$\overline{OU}=\overline{OV}=2r.$ 上式說,如果我們在 U 點掛上兩個圓片,半徑為 ab,另外在 W 點,( $\overline{OW}=a$),掛上一個半徑為 2r 的圓片,則它們的「重量」正好平衡,也就是說,槓桿不動。

現在我們想像 XYPQ 逐漸移動至 MN。按照上面所說的平衡掛法,半徑為 $\overline{GZ}$$\overline{FZ}$ 的圓片,一片片地被掛在 U 點,這些不同「重量」的圓片,分別組合成圖1-b中的球和錐,掛在同一點 U 處;同時那些將半徑均為 2r 的圓片,一片片地被掛在不同的 W 點下。隨著 XY 的移動,W 點由 O 移至 V。因此我們有同「重量」的圓片,平均地掛在 OV 下。根據基本力學知識,這就相當於將全部重量,掛在 OV 的中點 C 處。這全部的「重量」,就是我們圖1-b中的圓桶。

從圖1-b的「平衡圖」來看,我們馬上根據槓桿原理,得到

\begin{displaymath}
2r \cdot (\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont ...
...t \mbox{{\fontfamily{cwM6}\fontseries{m}\selectfont \char 66}}
\end{displaymath}

但是,錐 $=(\frac{1}{3})$.桶(為什麼?請做習題 1),所以 2r.球 $=(r-\frac{2r}{3})$.桶。 因為桶的體積是底乘高,於是

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55}}...
...66}} = \frac{1}{6}\pi\cdot 2r \cdot (2r)^2
= \frac{4}{3}\pi r
\end{displaymath}

這個方法是不是很奇妙?你看懂了這個證明後,一定也能做習題 2。槓桿原理的應用,並不祇限於旋轉體的體積,讀者可看 3 書中一個求面積的例子。

習題 1. 證明:錐 = $(\frac{1}{3})$.桶。你可以用 4 文中所謂的「胖子原理」,比較一個錐和那堜瓵蛌熄妍芋C

習題 2. 圖2中的拋物線,如繞 ab 軸旋轉一週,其所得旋轉體的體積為

\begin{displaymath}V=\frac{1}{2}\pi r^2 l,\end{displaymath}

試用槓桿原理證明之。

參考資料

  1. S.H. Gould(古學理):The method of Archimedcs, Amer. Math. Monthly, 62(1955), 473-476.
  2. B.L. van der Waerden: Science Awakening, P. Noordhoff, 1954.
  3. Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford Univ. Press, 1972.(本文中有關歷史部份大多採自此書)。
  4. 李宗元:〈祖沖之、球體公式及其他〉,《數學傳播》第一卷第四期,六十六年三月。

   

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編輯:洪瑛 / 校對:黃信元 最後修改日期:4/26/2002