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.原載於數學傳播第一卷第四期
.作者當時任教於中央數學系

註釋
 

祖沖之、球體公式及其他

李宗元

 
 


祖沖之

月球表面上有許多「湖」,「海」,「火山口」,其中一個「火山口」,曾被現代西方科學家定名為祖沖之「口」。祖沖之(公元430∼501)是我國南北朝時代的人,他倒底是何許人,有什麼貢獻,如此受人敬重,甚至在月球上也割了一塊地給他?

關於祖沖之的生平,《科學月刊》六十四年四月號陳勝崑先生「祖沖之」一文中有詳細的記載。其他的現代資料,有錢寶琮的《中國算學史》以及李約瑟的《中國科學與文化》(第三冊)兩項權威著作。

祖沖之是劉宋時代最傑出的數學家、天文學家。他曾修訂曆法(被用過一段時期,以後改朝換代,曆法也隨之改了。)他從天文的觀察中,得到一些極精確的計算。例如他曾算得月球繞地球一周為時 27.21223 天,這與現代公認的 27.21222 天,幾無相差。憑這一點地就該當得上月球榮譽公民了。

祖沖之的另一項成就,是他對圓周率 π 的精密計算。這堨要一提的是,在西方亞基米德(公元前250年)已經得到過 $\frac{7}{22}$ 的近似值,公元後150年左右。希臘的天文家們,也曾用過 3.141666 的值。 這方面我國稍為落後,但到三國時代,約在公元250年左右,劉徽曾得到過 3.14159 的值。祖沖之在這塈@了一個大躍進。他先給了兩個簡易的有理式近似值,一個叫「約率」,就是亞基米德的 22/7,一個叫「密率」,是 355/113,密率已經有七位精確數字;這個分數,一直等到一千年以後才在歐洲被發現。祖沖之認為這兩個近似值仍然不夠精確,因此他又得到了一個更精確的估計:

\begin{displaymath}3.14159< \pi <3.1415927 \end{displaymath}

小的叫「朒數」,大的叫「盈數」。同樣精確的近似值,在歐洲要到1593年才由 Vieta 得到,他的數值恰好是朒數和盈數的中間值。

這塈琲帶一句,歷史上先後有很多人做過π的計算。在我們現在看來,這種計算本身並沒有多大的數學價值,(尤其是在π被發現是無理數之後。)但是 π 的歷史,至少能夠反映出當時社會的科技進步程度。我國科學,本來就不如文史之受重視,等到八股時代,地位更低,先人的科技貢獻多被遺忘,所以到明清時代,一般所用π的數值,竟然退步到 $\sqrt{10}$(差不多是 3.16)!

祖沖之這些精確的計算,到底用的是什麼方法,我們已經無法知道。他寫過一本《綴術》,一定是當時最艱深的數學巨著,因為以後《隋書》中會提到這書,說「學官莫能究其精奧。是故廢而不理」。可惜這書早已失傳,李約瑟書中曾提到過:《綴術》的最後一些版本,竟被後世的文人用來作為草稿紙,在上面練字!

這堨u有一點猜測可以一提。數值計算方法中,有一種叫做 Divided difference 的方法,在我國早已有之,叫做「招差法」。根據李約瑟說,最遲在公元665年左右,李淳風在製造曆法時已經用過,但其創始可能更早。錢寶琮曾根據一些歷史資料,判斷說祖沖之天文計算上的方法,就是這個「招差法」。懂得一點 Divided difference 的人,大概也會同意,至少「綴」這個字,似乎和 Divided difference 的技巧多少有點貌似。

下面我要介紹的,是祖沖之證明球體體積公式的方法。本文取材自 T. Kiang 寫在《Mathematical Gazette》中的一篇文章。至於原始資料出自何處,Kiang 文中並未提及;筆者對中國數學史本無研究,這次匆促成文,也沒有去查一查錢寶琮的書。但本文的主旨不在歷史或考證,希望讀者原諒。祖沖之的證明,只用了簡單的數學,但其過程可說是既精彩又曲折,同時還顯示了一些數學的精神以及數學中美麗的技巧(數學中也有令人厭惡的技巧)。這樣令人拍案驚奇的證明,本應廣為傳播,更何況它是我們一干五百年前祖先的發現!

讀者或許可以允許我再嚕嗦一些才進入正題。大家都讀過,半徑為 r 的圓,其面積 A(r)$A(r) = \pi r^2$;半徑為 r 的球,其體積 V(r)$V(r) = \frac{4}{3} \pi r^3$。但是這些公式是怎樣得來的?A(r) 的公式還不難想像 註1 ,但是 V(r) 堶惆滬 $\frac{4\pi}{3}$ 倒有些奇怪。各位等到大一讀到微積分的時候,這兩個公式只要利用微積分的方法,不消一兩分鐘就可以得到了。但是有不用微積分的辦法嗎?嚴格地說當然沒有:因為你怎樣地說一個東西的面積或體積呢?這堳K含有積分的基本觀念在了。約莫地說,一個「東西」的體積(或面積)是它許許多多極小極小的「基本東西」的體積(或面積)之和的極限-這句話真難懂!這也難怪,因為它不但含糊,而且本身也不嚴密!讀者如果沒有接觸過微積分,請千萬不要被它嚇唬住,你可不必理它,我也不再提它。下面要用到的一個積分的基本原則,相信應該是各位可以接受作為「直觀的」、「常識的」原則。

我這堶n提一提的是,雖然微積分可說是牛頓等人的產品,但是其中積分的精神和涵義,在東方和西方卻都早已有之。西方的亞基米德,對積分的意義早有清楚的瞭解及某種程度的運用。至於積分的一般方法技巧,才是要等到微分理論的建立以後始得系統化(此所謂 "Fundamental Theorem of calculus")。我要強調的是,祖沖之的證明,當然有積分的精神,但並不需要(也不可能要)用到微積分的方法。下面我要用到的積分的基本原則,可以如下表之(一般書中稱之為Cavalieri's principle):

兩個胖子一般高,
平行地面刀刀切;
刀刀切出等面積,
兩人必然同樣胖。

這個「胖子原理」當然也適用於平面上的面積,我們不再重述。一個平行四邊形的面積,就是與它同底等高的長方形的面積;這可說是這個原理最簡單的應用。

 
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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002