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祖沖之、球體公式及其他 (第 2 頁)

李宗元

 

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.原載於數學傳播第一卷第四期
.作者當時任教於中央數學系

註釋
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祖沖之的證明

我們現在要求一個半徑為 r 的球體體積。祖沖之說,讓我們來考慮另外一個立體:我們想像一刀一刀平行地切過去,在球上我們切得一個個不同大小的圓,我們現在把這每一個圓,改換成它的外切正方形,(我們要這些正方形的邊都互相平行),這樣得出來的一個立體,是一層層大小不同的正方形重疊而成的,祖沖之叫它做 牟合方蓋



圖1(a)



圖1(b)

圖1 顯示了半個球和它的牟合方蓋,(以及一些遺留的刀痕)。一般人家中用來罩菜的紗罩,好像就是這樣的半個牟合方蓋。

每個圓和它的外切正方形,面積上的比例是 π:4。因此,根據上面「胖子原理」的一個明顯的引申(請你將它具體地敘述一下),我們馬上看出如下的體積關係:

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55} :...
...mily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}}= \pi :4 \eqno(1)\end{displaymath}

因此你如果能求出牟合方蓋的體積,你就得到了球的體積 註2 。現在就讓我們來朝這個方向走。

圖2(a)中 NOACB 是八分之一的牟合方蓋,我們現在希望求它的體積。請注意曲線 NANB 都是半徑為 r 的圓的部份:它們上面的點,是每刀所截的圓與其外切正方形的相切點,所以這些點都在我們的球上。但是 NC 卻不是:它是每個正方形尖端的軌跡。(又 ON=r$OC=\sqrt{2}r$)。



圖2(a)



圖2(b)

我們現在再要經過一番曲折。這八分之一的方蓋,正好可以放在一個邊長為 r 的正方盒 NGGEFACBO 中,如圖2(b)。在方盒之內,但在 NOACB 之外的部份,我們暫且叫它作「蓋外」。因此

\begin{displaymath}\frac{(\mbox{{\fontfamily{cwM12}\fontseries{m}\selectfont \ch...
...\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 213}} \eqno(2)\end{displaymath}

現在我們來看看這個「蓋外」的體積,請諸位看看圖3(a),這只是2(b)的放大,另加連攔腰一刀(刀面距底為 h



圖3(a)



圖3(b)

上面所說的這一刀,從盒上斬得正方形 TUVY(面積 r2),從我們的八分之一的方蓋上,斬得正方形 TXYZ(為什麼是正方形?)假如這個正方形邊長是 x,那麼因為 OX=r,OT=h,XT=x, 再加上這一刀是垂直於 ON 的,所以畢氏定理告訴我們

r2-x2=h2

也就是說,距底面為刀的這一刀,從「蓋外」所斬得的面積 XYYZWVU 的面積),恰好是 h2

最後一個重要的觀察:下圖4中的立體,身高為 r,每一垂直於 EC,距 C 點為 h 高的截面,是一個邊長為 h 的正方形。(所以 CEFCEG 是等腰直角三角形,但 CNGCNF 不是)。這個立體,在我國古書中稱作陽馬



圖 4



圖 5

為什麼叫陽馬我不知道。根據上一段的觀察,(「胖子原理」又一次上陣),我們馬上可以知道

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}\h...
...\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 239}} \eqno(3)\end{displaymath}

因此我們只要能求出陽馬的體積就成了。這一點,我們古書中早已提到過:三個同樣的陽馬,剛好湊成一個正方盒!這裡你可能需要一點透視能力:如圖 5 中的方盒,可以折成下列三個同等的陽馬:

8-1234, 8-1357, 8-1256

(其中 8-1234表示以8為尖端,1234為方頂的陽馬)。 你如果覺得看不清楚,不妨自己做三個陽馬模型來拼拼看。

因此我們圖4中陽馬的體積是

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM9}\fontseries{m}\selectfont \char 185}\...
...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 239}}=\frac{r^3}{3}\end{displaymath}

從(2)、(3)兩式,我們得到

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM12}\fontseries{m}\selectfont \char 132}...
...amily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 81}}=\frac{16r^3}{3}\end{displaymath}

最後從(1)式,我們便看出

\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 55}}=\frac{4\pi r^3}{3}\end{displaymath}

你覺得這個證明奇妙嗎?數學中常有這類的情形發生:要求的東西,一時無法求出,但動動腦筋,有時可以找到一個有關聯而又可求的新東西出來。這個過程,我們上面用了兩次: 球→牟合方蓋一次,蓋外→陽馬又一次。

1.陳勝崑:祖沖之 (中國科學家列傳之一),科學月刊 (六十四年四月)。
2.錢寶琮:《中國數學算史》,1932年,中央研究院出版。
3.Joseph Needham: 《Science and Civilization in China》, Vol.3, Cambridge Univ. Press.
4.T. Kiang: "An Old Chinese Way of Finding the Volume of a Sphere". Math Gazette, Vol. LVI, No.396, May 1972.

   
 
補註

這篇文章寫完後,翻閱了一下舊的《數學傳播》,其中第一卷第二期就有三處談到了橢圓的面積公式(pp.87, 104, 172-173)。其實要向中學同學談橢圓面積並沒有什麼困難,最簡單的方法就是這個最直覺的「胖子原理」。如圖8,我們比較一個長軸 a 短軸 b 的橢圓和一個半徑 b 的圓。注意一平行長軸的直線,從橢圓和圓上分別截得 LL'MM'



圖8



圖9

從橢圓和圓的方程式,我們很快地看出

LL' : MM' = a : b

因此根據「胖子原理」明顯的引申,我們馬上得到下面的面積關係

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \char 158...
...ontseries{m}\selectfont \char 198}}=\frac{a}{b}\pi b^2=\pi ab.
\end{displaymath}

同樣的方法也可以算出橢圓體(圖9)

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{displaymath}

內包的體積。任意一z=t的平面,從這立體上截得一橢圓:

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2(1-\frac{t^2}{c^2})}+\frac{y^2}{b^2(1-\frac{t^2}{c^2})=1}\end{displaymath}

其面積為(根據剛剛得到的公式)

\begin{displaymath}\pi \frac{ab}{c^2}(c^2 -t^2).\end{displaymath}

同一平面在 x2+y2+z2=c2 的球中,截得一圓:

x2+y2=c2-t2

其面積為

\begin{displaymath}\pi (c^2-t^2)\end{displaymath}

因此任一上述的平面,從橢圓體和球上分別切出的面積均成

ab:c2

的比。再利用「胖子原理」的引申,我們就知道,橢圓體內所包的體積是

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \char 158...
... \frac{ab}{c^2} \cdot \frac{4}{3}\pi c^2 = \frac{4}{3}\pi abc.
\end{displaymath}

   

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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002