祖沖之、球體公式及其他 (註釋)

李宗元

 
註釋

...註1
球面積的公式,可從下圖 6 中的「割切拼湊法」清晰地看出,我想看圖識字即可,不需要再加解說(極限的觀念當然不可避免)。



...註2
當然,你也可以做反方向的應用。如果你承認了球體體積的公式,(1)式馬上告訴你牟合方蓋的公式。一般微積分書上,常有這樣一個題由 兩個同樣大的圓桶作正交,間其共同的部份體積為何?其實這個共同的部份,就是我們的牟合方蓋,諸位參照圖7稍為想想即可知道。當然,用微積分的方法計算也非常簡單,但是我們仍然要經過圖3中的那條思路,所以對許多大一同學來說,這也並不是一條很容易的題目。我這埵A重覆兩點:

1.祖沖之觀察(「蓋外」→陽馬的這一手),完全避免了微積分的技巧。

2.只要知道球體的公式,這個題目本來就用不著微積分;據說這也就是亞基米德求出圓桶正交共同體積的方法,因為他早已知道球體體積的公式。又亞基米德還有一個鮮為人知的方法,利用他的槓桿原理竟能導出球體體積!真是令人嘆為觀止。 關於這個方法,筆者不久將再為諸位描述。



圖7

   


最後修改時間: 4/26/2002