數學家一般都本能地喜歡推廣。例如假設存在以某個公理系 A 為基礎的豐富的理論體系 S。這時誰都會想像到，從 A 中去掉若干個公理得到公理 B，從 B 出發推廣 S 得到理論體系 T，再進行展開。稍加思索就覺得 T 是比 S 更豐富的體系，因為 T 乃是 S 的推廣，但如果實際試驗一下這種推廣，許多場合與期待的相反，T 的內容貧乏得令人失望。這種時候，可以說 T 不過是 S 的稀疏化而不是推廣。當然並非所有的推廣都是稀疏化。數學從來是依據推廣而發展起來的。最近推廣不斷墮入稀疏化，倒不能說是一種奇怪的現象。

那麼，能發展成豐富的理論的推廣，其特徵是什麼呢？進一步，公理系能作為豐富的理論體系的出發點的特徵又是什麼呢？現代數學對這種問題不感興趣。例如，群論顯然是比格論更為豐富的體系，但群的公理系優於格的公理系之點是什麼呢？又在拓樸學、代數幾何、多變量函數論等等中，基本層的理論的出發點（看來似乎）是毫無價值的推廣，它不過是用及數替換以前的常數作為上同調群的係數。 而實際上卻是非常豐富的推廣，其理由何在呢？與此相反，連續幾何被看作是射影幾何的令人驚嘆的推廣，但卻沒有什麼發展，這又是為什麼呢？當把數學作為一種現象直接觀察時，所產生的這類問題不勝枚舉。雖然我並不知道，它們是否都是不屑一顧的愚蠢問題，抑或能否建立一門的回答此類問題為目標、研究數學現象的學科，即數學現象學呢？但是如果能夠建立，那一定是非常有意思的學科。 為了研究數學現象，從開始起唯一明顯的困難就是，首先必須對數學的主要領域有個全面的、大概的了解。正如前面說的，為此就得花費大量的時間。沒有能夠寫出數學的現代史我想也是由於同樣的理由。