余文卿

費馬最後定理 庫麥爾的悲劇 橢圓曲線與模型曲線 結論

圖一：費馬(Pierre de Fermat, 1601-1665)

最近數論界或整個數學界最熱門的話題，是威爾斯教授證明了懸疑近三百年的費馬最後定理。威爾斯(Wiles，圖二) 畢業於英國劍橋大學。現任教於美國普林斯頓大學數學系。自小立志解決最後定理， 足足費了七年，才於一九九三年公布研究成果， 寄望在他四十歲之前拿下數學界的最高榮譽獎項──Fields Medal。但他的論文被發現有漏洞，直到兩年後，他跟他的學生泰勒(Taylor)才把漏洞彌補過來，但這時已超過得獎的年齡。

其實威爾斯證明了一九五０年代日本數學家志村五郎與谷山豐所提出猜想的一部份，威爾斯定理：每一半穩定的橢圓曲線都是模型曲線。而原來的志村-谷山猜想是：每一橢圓曲線都是模型曲線.

為什麼能從威爾斯的定理推出費馬最後定理？這是我們所要交代清楚的。

費馬最後定理

一六三七年左右，法國業餘數學家費馬（Pierre de Fermat，圖一）在他的《不定方程式論》（丟番圖著）一書的邊緣記下：任何立方數不能分成兩立方數的和，任何四次方數不能分成兩四次方數的和，任何五次方數也不能分成兩五次方數的和，如此類推。這就是後世所稱的費馬最後定理(Fermat Last Theorem)：

設 n 是大於 2 的正整數，則方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ，沒有正整數解。

他並附加道：我發現了一個非常漂亮的證明，但這裡沒有足夠的空間可容納得下。根據後世的考證，費馬或許有辦法證明 n=3,4,5 的情形，根據當時尚未成熟的數學歸納法而推斷這命題對任意n>2皆成立。

圖二：證明了費馬最後定理的威爾斯

注意到若d是n的因數，則

費馬出生於法國南部杜魯斯 (Toulouse) 不遠的小鎮，三十歲時承襲了治安推事的職業，透過書信往來，傳達他的數學信息，他在數論的成就不勝枚舉，如：

費馬小定理：

若p是質數且a是與p互質的整數，則

質數分解定理：

若 p 是形如 4k+1 的質數，則 p 可唯一表示為正整數 a,b 的平方和。