畢氏定理的兩個推廣

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．原載於科學月刊第二十五卷第十二期
．作者當時任教於台大數學系

畢氏定理的兩個推廣

蔡聰明

問題的起源
四面體的餘弦定理
n 維歐式空間的畢氏定理
如何求 m 維平行多面體的體積？
幾何的向量代數化

幾何學的向量代數化，就是要用向量的演算（加法、係數乘法、內積與外積）來處理幾何問題，這是數學方法的一大進步。本文利用畢氏定理的兩個推廣來展示其用法。在文獻上，本文定理四是一個新結果。

畢氏定理是歐氏平面幾何的一個核心結果，是三角學的出發點，刻卜勒 (Kepler) 所稱的「幾何學兩個寶藏之一」。另一個是黃金分割 (golden section)。

畢氏定理有各式各樣的推廣。台大數學系黃敏晃教授在《數學傳播》〈畢氏定理的一些推廣〉裡給出了六種推廣。另外，筆者在該期刊〈四邊形的面積〉一文中，也談及沿著托勒密 (Ptolemy) 定理這個方向的推廣。

在歐氏平面上，將直角三角形改為一般三角形，畢氏定理就推廣成為餘弦定理。本文我們要介紹三維空間的餘弦定理以及n維空間的畢氏定理，順便展示以向量代數運算法處理幾何問題的威力。

問題的起源

什麼是畢氏定理？我們採用三種說法：

(i)出太陽的日子，在地面上鉛直立一根竹竿，那麼地面上就出現一段竿影（見圖一）。畢氏定理是說：竿端至影端的距離平方等於竿長平方與影長平方之和。

圖一

(ii)在直角坐標平面上，如圖二，有 AB 之線段，那麼 AB 的平方就等於 AB 在 x 軸與 y 軸的投影平方之和。

圖二

(iii)在直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方之和。如圖三，設 $\angle C = 90^{\circ}$ ，則 AB²=BC²+AC²，亦即斜邊上的正方形面積等於兩股上正方形面積之和。

圖三

對於一般三角形，我們有：

定理一（餘弦定理）：

在任意三角形 $\triangle ABC$ 中，設 a,b,c 為其三邊（參見圖四），則

$\begin{eqnarray*} a^2 &=& b^2+c^2 - 2bc \cos A \\ b^2 &=& c^2+a^2 - 2ca \cos B \\ c^2 &=& b^2+a^2 - 2ba \cos C \end{eqnarray*}$

圖四

畢氏定理推廣到三維空間 $\emph{R}^3$ ，有兩個形式（定理二與定理三）：

定理二（畢氏定理）：

位置向量 (position vector) $\overrightarrow{OA} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ 在各個坐標軸的投影長之平方和等於向量長的平方，亦即

$\begin{displaymath} \parallel \overrightarrow{OA} \parallel^2 = a_1^2 + a_2^2+ a_3^2 \eqno{(1)} \end{displaymath}$

(參見圖五)

將(1)式「二元化」之後，就是內積構造：

$\begin{displaymath} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = a_1b_1 + a_2b_2 +a_3b_3 \eqno{(2)} \end{displaymath}$

其中 $\overrightarrow{OB} = b_1 \vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$ 。在(2)式中，取 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}$ ，又復得(1)式，這叫做「極化」。

注意到：若 $\overrightarrow{OA}$ 投影到各坐標平面上的長分別為 OA₁、OA₂、OA₃，則

$\begin{displaymath} \parallel \overrightarrow{OA} \parallel ^2 = \frac{1}{2}(OA_1^2+OA_2^2+OA_3^2) \end{displaymath}$

圖五

圖六

定理三(畢氏定理)：

在圖六中，令 π 表示由兩向量 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 所決定的平行四邊形。設 $\pi_{12}$ 、 $\pi_{23}$ 與 $\pi_{31}$ 分別是 π 在 xy，yz，zx 平面上的投影，則

$\begin{displaymath} (\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char... ...tfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2 \eqno{(3)} \end{displaymath}$

對於定理三我們採用兩種證法：

證明一：利用向量內積的演算來做，雖較麻煩但較有收穫。首先求π的面積。設 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OA}$ 上的投影向量為 $\overrightarrow{OC}$ ，則

$\begin{displaymath} \overrightarrow{OC}= \frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrig... ...{\overrightarrow{OA}}{\parallel \overrightarrow{OA} \parallel} \end{displaymath}$

於是

$\begin{displaymath} \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} ... ...lel \overrightarrow{OA} \parallel^2} \cdot \overrightarrow{OA} \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} h^2=\parallel \overrightarrow{CB} \parallel^2 =\overrightarr... ...rrightarrow{OA})^2}{\parallel \overrightarrow{OA} \parallel^2} \end{displaymath}$

從而

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} (\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\... ...htarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA})^2 \end{eqalign}\eqno{(4)} \end{displaymath}$

令 $\overrightarrow{OA} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{j} + a_3 \vec{k}$ ， $\overrightarrow{OB} = b_1 \vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}$ ，則

$\begin{eqnarray*} &&(\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2 \end{eqnarray*}$

這個額外的收穫有三件：

1. Lagragnge 等式：

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} & (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2+(a_3 b_1 - a_1 b_3)^... ...2+b_3^2)-(a_1 b_1 +a_2 b_2 +a_3 b_3)^2 \end{eqalign}\eqno{(5)} \end{displaymath}$

用向量記號表達就是

$\begin{displaymath} \parallel \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \pa... ...ightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \parallel^2 \eqno{(6)} \end{displaymath}$

其實，此式是兩維畢氏定理

$\begin{displaymath} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta =1 \eqno{(7)} \end{displaymath}$

的化身！其中 θ 為 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 的夾角。因為將(7)式之兩邊同乘以 $\parallel \overrightarrow{OA} \parallel ^2 \parallel \overrightarrow{OB} \parallel^2$ ，再配合內積與外積的幾何解釋就得到(6)式。因此，在內積與外積的交織下，(3)-(7)五個式子皆等價的(equivalent)，這是很奇妙的事。

進一步，對(6)式作「二元化」也成立，仍然叫做Lagrange等式：

$\begin{displaymath} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) =(\... ...{d}) -(\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c}) \eqno{(8)} \end{displaymath}$

當 $\vec{c}=\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ ，且 $\vec{d}=\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ 時， (8)式就化約成(6)式。

對於二維向量的情形，(5)式變成

$\begin{displaymath} (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2+(a_1 b_1 - a_2 b_2)^2 =(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \eqno{(9)} \end{displaymath}$

這表示「兩數平方和乘以兩數平方和，等於兩個平方數之和」。事實上，(9)式等價於複數的一個重要性質：

$\begin{displaymath} \vert z_1 \cdot z_2\vert=\vert z_1\vert\cdot\vert z_2\vert \eqno{(10)} \end{displaymath}$

2. Cauchy不等式：

$\begin{displaymath} (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \eqno{(11)} \end{displaymath}$

3. Gram 行列式：

利用行列式可將(4)式表為

$\begin{displaymath} (\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char... ...} \cdot \overrightarrow{OB} \end{array}\right\vert \eqno{(12)} \end{displaymath}$

我們稱此行列式為 Gram 行列式，記成 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ 。進一步，引入向量元的行向量與列向量，並且利用矩陣乘法，則 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ 可表成

$\begin{displaymath} G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) =\det \left(( \be... ... (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) \right) \eqno{(13)} \end{displaymath}$

其中 det 表示對方陣取行列式。 Gram 行列式 $G(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ 代表由 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 所決定的平行四邊形面積的平方。(13)式也隱含了畢氏定理。

此外，上述(5)、(11)、(12)與(13)四式都有高維空間的推廣。

證明二：對於(3)式的證明，比較簡單的辦法是利用向量外積的演算。

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} &=& \left\vert ... ...3b_2)\vec{i} + (a_3b_1-a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2-a_2b_1)\vec{k} \end{eqnarray*}$

根據外積的幾何意義知，向量 $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ 的長度表示 π 的面積，所以

$\begin{eqnarray*} (\pi \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 2... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2 \end{eqnarray*}$

這個證明顯示，推廣的畢氏定理已隱含於外積的定義之中，真神奇！然而，因為外積只生存在三維空間中(見參考資料5)，所以這個證法無法推展到更高維空間的情形。因此，對於高維空間的畢氏定理之追尋，我們必須循其他路徑，其中 Gram 行列式是一條康莊大道。

事實上，定理三還可以再推廣：將兩向量所決定的平行四邊形，改為空間中的平面曲線所圍成的單連通之封閉領域 R。令 R 在三個坐標平面上的投影分別為 R₁₂、R₂₃、R₃₁，則

$\begin{displaymath} (R \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 2... ...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}})^2 \eqno{(14)} \end{displaymath}$

此式的證明需要用到微積分，在此從略。

推論：在三維空間的直角坐標軸上，分別取 A，B，C 三點，形成一個直角四面體OABC(見圖七)，則

$\begin{displaymath} (\triangle ABC)^2=(\triangle OAB)^2+(\triangle OBC)^2+(\triangle OCA)^2 \eqno{(15)} \end{displaymath}$

圖七

如果將平面中的直角三角形與三維空間中直角四面體看成類推，那麼一般三角形的類推就是一般的四面體。今已知一般三角形有餘弦定律 (the law of cosine)，我們要問一般的四面體有無相應的餘弦定律？

另外，對於 n 維歐氏空間( $n \geq 4$ )，定理三要如何推廣？如何證明？

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編輯：朱安強 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002