對於平面上以格子點為頂點之多邊形，其面積公式是什麼呢？在上述(1)∼(4)的公式中，只有(3)與(4)兩式比較有可能。因此，我們初步猜測多邊形的面積 A 為：
或者
其中 b 與 i 分別表示在多邊形中，邊界點與內點之格子點個數。
接著是用一些例子對猜測作試驗。因為多邊形有無窮多種，所以即使試驗再多的例子都成立，這都不能代表已證明出我們的猜測，但是只要有一個例子違背（稱之為反例），就否定掉猜測。
舉例而言，「凡是天鵝都是白色的」，我們觀察過再多的白色天鵝都無法得到證明，但是只要出現一隻黑天鵝就否定掉這句話了。這種證明和否證的不對稱性值得注意。
圖八
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圖九
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圖十
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現在，我們試驗圖八、九與十等三個例子，列表如下：
| (I)b |
(II)i |
(III)b+i-1 |
(IV) |
(V)
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| 10 |
2 |
11 |
7 |
6 |
| 17 |
5 |
21 |
13 |
12 |
| 9 |
7 |
16 |
11 |
10 |
比較(III)與(V)行，(IV)與(V)行,我們發現公式(5)與(6)都不對。該如何修正呢?
我們進一步觀察到(IV)與(V)兩行有規律，即相差1，所以我們將(6)式修正為
這個面積公式就「適配」(fit) 上述圖八至圖十的三個例子。
我們也可以從另一個角度來觀察(7)式。仿照一維植樹問題的情形，考慮圖十一之長方形。我們發現，一個內點貢獻面積1，而邊界點分成兩種情形：
- (i)在側邊上的點，每一點貢獻面積 ；
- (ii)四個頂點，每一點貢獻面積
 。
因此，如果每一個邊界點都看成是貢獻面積 ，則整個合起來就多算了一個單位面積，必須扣掉。換言之，(7)式是一個合理的猜測。
圖十一
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再對(7)式作試驗，例如考慮圖十二、十三與十四，容易求得它們的正確面積分別為 、13與 。另一方面，按公式(7)來計算，分別得到、13與13。因此，對於圖十二與十三而言，(7)式成立；但是對於圖十四，(7)式就不成立了。我們發現圖十四比較特別，有兩個邊交叉了，這並不是通常所謂的多邊形。如果將這種情形排除掉，只允許邊沒有交又的情形，我們稱之為單純多邊形 (simple polygon)，那麼我們猜測(7)式對於單純多邊形都會成立。
圖十二
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圖十三
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圖十四
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豈其然乎？我們用了更多不同形狀的單純多邊形作試驗，結果發現(7)式都成立（讀者應該自己嘗試）。至此，我們更有理由相信，(7)式很可能就是我們所要追尋的公式。下一步，也許該嘗試去證明它了。
(7)式有各種證明方法，本文我們只介紹兩種證法。
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