談求面積的 Pick 公式 (第 2 頁)

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談求面積的 Pick 公式（第 2 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十五卷第十期
．作者當時任教於台大數學系
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一維的特例：植樹問題

要追尋一個公式或規律，通常是由特例著手。一個問題的特例，正如其推廣或類推，往往有各種式樣。換言之，一個問題並非是孤立的，而是座落在由許多問題所連結起來的四通八達的網路上。例如，在上述問題中，將多邊形改為三角形或長方形，就是一個特例的思考方向。也可以將二維平面的問題，改為一維的直線問題，這又是另一個特例的思考方向。找到一個適當的特例，由此切入，逐步尋幽探徑，發現其一般規律後，從而解決整類的問題，這是最令人欣喜的事情。

我們選擇一維的特例來思考，此時不過是簡單的植樹問題。例如：在圖六的線段上每隔單位距離種一棵樹（即在格子點上種樹），兩端皆種，問線段有多長？

圖六：一維的植樹問題

我們觀察到格子點可分成內點 (interior points) 與邊界點 (boundary points) 兩類。假設內點與邊界點的個數分別為 i 與 b（事實上 b=2）。顯然線段之長 L 為：

L	=	$\displaystyle \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 200}\hski... ....0pt plus0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}}$	(1)
	=	i+1	(2)
	=	b+i-1	(3)

我們也可以這樣想：如果在相鄰兩格子之中點加以分割，得到許多小段，那麼每一個內點所在的小段皆具有單位長度，而每一個邊界所在的小段只有 $\frac{1}{2}$ 單位長度，見圖七。換言之，一個內點貢獻一個單位長度，而一個邊界點只貢獻 $\frac{1}{2}$ 個單位長度。因此，線段的長度為：

$\begin{displaymath}L=\frac{b}{2}+i\eqno{(4)}\end{displaymath}$

圖七：線段長之計算

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編輯：李渭天

最後修改日期：2/27/2002