第三個發展是群的觀念，這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算，加、減、乘、除；研究幾何的話，把這個東西從這個位置移動到其他的位置，也是個運算。而這樣的運算（也稱為運動）有一個特別的性質，也就是說：把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結果，可經由一次運動來達成，具有這個特殊性質的，便稱其成一群。研究幾何的對象，應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。

既然討論運動群，有時我們還想討論更大的群，看是不是有些性質不但在運動群下不變，在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交，從一點投影，被一新平面所截，則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質，是經過一種比運動還廣的投影之後，仍然不變的。這也有許多應用，如藝術家畫畫，講求透視，遠近合乎幾何的條件。

研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐幾里得幾何（討論幾何性質經運動群後不變的），也可以討論投影幾何中，投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質，在投影變換後是變了的，像距離、角度，但是還有些更重要的性質在投影下是不變的，而且這些性質能經過（大一點的）投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。

法國數學家 Poncelet（1788∼1867年），在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨拿破崙攻打俄國，被俄俘擄，囚禁在俄國監獄中，而他的主要著作，也就是在此時完成的。因此，大家常常抱怨科學研究的設備不好，相形之下，這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。