中國π的一頁滄桑 (第 5 頁)

　1│2│3│4│5│6│7　

中國π的一頁滄桑（第 5 頁）

洪萬生

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊第八卷第五期
．作者當時任教於師大數學系
‧對外搜尋關鍵字

五、π與大衍求一術

注意到，在上述的連分數計算程序(1)(2)(3)(4)中，實際上就是歐幾里得輾轉相除法的翻版（在把一個有理數表為一個有限小數或無限循環小數的程序中，輾轉相除法也是一項不可或缺的工具）。這種輾轉計算法，降生於希臘，似乎專以解決兩整數的最大公因數為主；而投胎於中土，則自立門戶，巍巍乎名之曰「大衍求一術」，始終與不定方程式之解析共進退。求一術最早見之於三國時代的《孫子算經》下卷，用以解決韓信點兵問題：「物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，七七數之餘二」，是抽象代數書上「中國餘數定理 (Chinese Remainder Theorem)」之濫觴（參見莫宗堅先生的〈韓信點兵〉一文，科學月刊創刊號）。接著，中國各朝代曆法改訂，都以大衍求一術求出更精確的近似值，來校正日差。詳見蔡仁堅先生的〈中國的天才數學家──秦九韶〉一文（收入《古代中國的科學家》一書，景象出版社印行）。也就是到了秦九韶的手上，大衍求一術才確定了它的通則與形式。在九韶先生的《數書九章》中有下列的記載：

置奇右上，定居右下，立天元一於左上。先以右下除右上，所得商數與左上一相生，入左下，然後以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數，隨即遞互異乘，歸左行上下，須使右行上末得奇一而止。乃驗左上所得，以為乘率，或奇數已，見單一者便為乘率。

試舉一例，依大衍求一術解之：

以何數乘 65，除以 83 餘 1？

解：可設何數為 x，則原題可化為不定方程式

65x+83y=1

的求整數解之問題。因為 65 與 83 互質，故可用輾轉相除法的橫式遞互代入，求得其解，這是高一數學小問題。大衍求一術的解法則如下：

(上)天元 $\alpha_0=1$ 奇數 65

(下)0 定母 83

(左) (右) $q_1\cdots 65$ 除 83 之商

$\alpha_0=1$ 65

$\alpha_1=q_1\alpha_0=1$ $r_1=18 \cdots 65$ 除 83 之餘數

$q_2=3 \cdots 18$ 除 65 之商

$\alpha_2=q_2\alpha_1+\alpha_0=4$ $r_2=11 \cdots 18$ 除 65 之餘數

$\alpha_1$ r₁=18

$q_3=1 \cdots 11$ 除 18 之商

$\alpha_2=4$ r₂=11

$\alpha_3=q_3\alpha_2+\alpha_1=5$ $r_3=7 \cdots 11$ 除 18 之餘數

$q_4=1 \cdots 7$ 除 11 之商

$\alpha_4=q_4\alpha_3+\alpha_2=9$ $r_4=4 \cdots 7$ 除 11 之餘數

$\alpha_3=5$ r₃=7

$q_5=1\cdots\cdots 4$ 除 7 之商

$\alpha_4=9$ r₄=4

$\alpha_5=q_5\alpha_4+\alpha_3=14$ $r_5=3 \cdots 4$ 除 7 之餘數

$q_6=1 \cdots 3$ 除 4 之商

$\alpha_6=q_6\alpha_5+\alpha_4=23$ $r_6=1 \cdots 3$ 除 4 之餘數

$\alpha_5=14$ r₅=3

讀者仔細觀察，當可發現輾轉相除法與大衍求一術實有貌異神同之處；利用大衍求一術，不但可以同時得知 65 與 83 互質；而且可以同時求出原方程式的一組解 x=23,y=-18 來（ $\alpha_6=23$ 就是所謂的「乘率」）。（見本節末編者按語）

鑑於祖沖之的傑出，我們應該可以相信，他必然深諳「大衍求一術」之道；或許他在畫了一個圓內接正一萬六千多邊形之後，忽然靈光顯現，應用大衍求一術找到了這個 $\frac{355}{113}$ 也說不定。果真如此，則我們對中國古代數學的成就，當可再進一步地評價了。

（科月）編者按：由上面的解釋，我們有 $\alpha_0=1$ , $\alpha_1=q_1$ ，而 $\alpha_n = q_nx_{n-1}+\alpha_{n-2}$ , $n\geq 2$ 。同理，若令 $\beta_0=0$ , $\beta_1=1$ , $\beta_n=q_n\beta_{n-1}+\beta_{n-2}$ , $n\geq 2$ 。則證者不難發現 $r_n=(-1)^n(-83\beta_n+65\alpha_n)$ , $n \geq 1$ 。由遞推公式知 $\beta_6=18$ , $\alpha_n=23$ 。即 x=23, y=-18 為原方程式的一組解。

　1│2│3│4│5│6│7　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：洪瑛 ∕ 校對：黃信元

最後修改日期：5/28/2002