再談費氏數列 (第 2 頁)

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再談費氏數列（第 2 頁）

賴東昇

．原載於科學月刊第六卷第十期
．作者當時任教於台大數學系
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二、費氏數列空間

所謂費氏數列就是

$\begin{displaymath}1,1,2,3,5,\cdots,f_n,\cdots\eqno{(1)}\end{displaymath}$

它的特徵性質是前兩項的和恆等於第三項，即

$\begin{displaymath}f_{n-2}+f_{n-1}=f_n\quad\forall n\geq3\eqno{(2)}\end{displaymath}$

但是符合條件(2)的數列，一般來講，還有不少。例如將數列(1)的各項 2 倍後新得的數列

$\begin{displaymath}2,2,4,6,10,\cdots\end{displaymath}$

也有前兩項的和等於第三項的性質。又如先給出首兩項 2 與 7，然後依次相加（2+7=9，此為第三項，再把第二項第三項相加 7+9=16，此為第四項，接著 9+16=25 為第五項，下面依次類推）後所得的數列

$\begin{displaymath}2,7,9,16,25,\cdots\end{displaymath}$

也有這個性質。因此我們注意到了一件事實，即具有「前兩項的和恆等於第三項」這個性質的數列，除了費氏數列(1)以外，還有很多。下面為了述說方便起見，我們把這些數列統統叫做費氏數列，而把原來的費氏數列(1)叫做狹義的費氏數列。

換句話說，一個數列

$\begin{displaymath}a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\end{displaymath}$

如果滿足條件：

$\begin{displaymath}a_{n-2}+a_{n-1}=a_n\quad\forall n\geq3\end{displaymath}$

就叫做費氏數列。這麼一來，狹義的費氏數列就是滿足「初期條件」

a₁=1,a₂=1

的費氏數列。現在把這些費氏數列全部集齊在一起，當做一個集合 F 看待，即

F={(a_n)|a_n-2+a_n-1=a_n}

那麼，我們將發現集合 F 其有下面的性質：

(i) 費氏數列的倍數仍然是費氏數列。若以符號表示，則

$\begin{displaymath}(a_n)\in F\Rightarrow p(a_n)\in F\end{displaymath}$

這裡所謂「數列的倍數」的意思是：數列

$\begin{displaymath}a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots\end{displaymath}$

的 p 倍就是指另一數列

$\begin{displaymath}pa_1,pa_2,pa_3,\cdots,pa_n,\cdots\end{displaymath}$

習慣上，將此數列記為 p(a_n)。所以 p(a_n)=(pa_n)

[驗證] 如令 b_n=pa_n，則

b_n-2+b_n-1=pa_n-2+pa_n-1=p(a_n-2+p_n-1)=pa_n=b_n

所以 $(b_n)\in F$

(ii) 費氏數列的和仍然是費氏數列。若以符號表示，則

$\begin{displaymath}(a_n)\in F,(b_n)\in F\quad\Rightarrow\quad(a_n+b_n)\in F\end{displaymath}$

這裡所謂「數列的和」的意思是：二數列
$\begin{egqarray*} a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots \\ b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n,\cdots \end{egqarray*}$
的和就是指另一數列

$\begin{displaymath}a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\cdots,a_n+b_n,\cdots\end{displaymath}$

通常將此數列記為 (a_n)+(b_n)。所以 (a_n)+(b_n)=(a_n+b_n)。

[驗證] 如令 (c_n)=(a_n)+(b_n)，即 c_n=a_n+b_n，則

$\begin{eqnarray*} c_{n-2}+c_{n-1}&=&(a_{n-2}+b_{n-2})+(a_{n-1}+b_{n-1})\\ &=&(a_{n-2}+a_{n-1})+(b_{n-2}+b_{n-1})\\ &=&a_n+b_n=c_n \end{eqnarray*}$

所以 $(c_n)\in F$

通常其有上述二性質的集合叫做線性空間（或向量空間）。所以費氏數列全體 F 組成一個線性空間。我們不妨給它一個名字，叫做費氏數列空間。

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編輯：李渭天

最後修改日期：5/31/2002