漫談費布那齊數列

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．原載於科學月刊第五卷第七期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋

漫談費布那齊數列

黃敏晃;方述誠

棋盤疑謎

棋盤疑謎 (Chess Board Paradox) 是一個很有名的數學謎題，我們不妨就把它拿來作為本文的引子。最常見的棋盤疑謎是這樣的：取一個西洋象棋盤(這是一個每邊為8單位長的正方形)如圖1切成4部分，再重新組合成圖2的長方形。

圖一

圖二

圖1的面積是 8×8=64 個單位，而圖2的面積則是 5×13=65 個單位，重新組合後就好像是變魔術一樣，多出了一個單位的面積，怎麼回事？

仔細一看，原來圖2是不正確的，正確的圖應該是圖3，圖2中的「對角線」，應該是圖3中極扁極窄的狹小空間，其面積剛好就是多出來的1個單位。這個棋盤疑謎，顯然是由人類視覺的不可靠，與做圖的不精確所導致的(這就是數字所以強調「證明」的原因了)。

圖三

如果把每邊5個單位長的正方形，照上例依樣畫葫蘆，我們就得到圖4的分劃，並重新組合成圖5，而做成 3×8=24 個單位面積的長方形，這回卻少了1個單位面積（ 5² - 3 x 8 = 25-24 = 1）。

圖四

但這個魔術現在對我們已經無效了，因為我們已學得很小心，立刻就會抓住它們的破綻：圖5中的「對角線」部分，由狹長的重疊，重疊部分的面積，就是少掉的1個單位面積。

上面的兩例，雖然1個多出1個單位面積，另1個少掉1個單位面積，但其分割與重新組合的方法，卻是一樣的。以數字來分析，可以得下列結果：

$\begin{displaymath}2+3=5 \; , \; 3(3+5)=24=5^2-1\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}3+5=8 \; , \; 5(5+8)=65=8^2+1\end{displaymath}$

利用同樣的分割，與重新組合的手段，我們可以把每邊長13個單位的正方形，組合成長21個單位，寬8個單位的長方形。同樣的，我們也可以把每邊21個單位長的正方形，分割後重新組合成，長34個單位，寬13個單位的長方形(請讀者自備方格紙，剪開拼合以好實驗)，下面就是這兩例的數字分析：

$\begin{displaymath}5+8=13\, ,\, 8(8+13)=168=13^2-1\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}8+13=21\, ,\,13(13+21)=442=21^2+1\end{displaymath}$

不難想像到，具有上述性質的正方形，其邊長似乎有某些關係：5，8，13=5+8，21=8+13，那麼邊長為34=13+21的正方形，有沒有上述性質呢？先作數字分析如下：

$\begin{displaymath} 13+21=34\, ,\, 21(21+34)=1155=34^2-1 \end{displaymath}$

由此可知，它也可以分割而後組成，長55寬21的長方形。同理，邊長為55的正方形，也可分割後組成長89=34+55，寬34的長方形：

$\begin{displaymath} 21+34=55\, ,\, 34(34+55)=3026=55^2+1 \end{displaymath}$

這樣由5與8開始，我們就可得到一連串的數（即數列）：

$\begin{displaymath} 5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots \end{displaymath}$

如果在這個數列前再加4個數：1,1,2,3, 我們就得到有名的費布那齊數列 (Fibonacci sequence)：

$\begin{displaymath}1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots \end{displaymath}$

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編輯：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002