從醉月湖的面積談起 (第 6 頁)

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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介（第 6 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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6. 推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理

抓住了 Green 公式的形式與內涵，要推廣到三維空間就不難了。首先令

$\begin{eqnarray*} \vec F(x,y,z) & = & P(x,y,z)\vec i + Q(x,y,z)\vec j \\ & + & R(x,y,z)k \end{eqnarray*}$

表示空間中的一個向量場 (Vector field)，即定義在空間中某領域的一個向量值函數。

定義：

$\begin{eqnarray*} \nabla\cdot\vec F &=& {\partial P\over\partial x}+ {\partial Q... ...{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})\vec k \end{eqnarray*}$

分別叫做向量場 $\vec F$ 的散度與旋度。

其次我們注意到，平面領域 Ω 可以有兩個方向的推廣：一個是空間中的可定向 (Orientable) 曲面 S（Möbius帶子就不是可定向曲面），參見圖16；另一個是空間中的一塊立體領域 V，參見圖17。

圖16

圖17

在(19)式中， $\vec k$ 是 Ω 的向外單位法向量；當 Ω 改為空間曲面 S 時， $\vec k$ 就應該改為 S 的向外單位向量 $\vec n$ 。

我們可以證明 $\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$ 跟二維的情形有類似的解釋。 $\nabla \cdot \vec F(x,y,z)$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z) \in V$ 的流出通量， $(\nabla \times \vec F) (x , y , z) \cdot \vec n$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z)\in S$ 的循環量。從而(19)與(20)兩式就推廣為：

定理4： (Gauss 定理，又叫做散度定理，1839年)

設向量場 $\vec F$ 的分量 P,Q,R 及其一階偏導函數皆為連續函數，則

$\begin{displaymath} \int \!\! \int_{\partial V}\vec F\cdot\vec n dA = \int \!\! \int \!\! \int_V(\nabla\cdot\vec F)dv \end{displaymath}$

(31)

其中 $\partial V$ 為圍成 V 之封閉曲面，dV 表示無窮小的體積元。

定理5： (Stokes 定理，又叫做旋度定理，1854年)

在與定理4相同的假設下，我們有

$\begin{displaymath} \oint_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds =\int \!\! \int_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n dA \end{displaymath}$

(32)

參見圖16。

在上述中，(31)式與(32)式分別將曲面積分與三重積分，線積分與曲面積分連結起來。若採用直角坐標系來表達，它們分別就是

$\begin{eqnarray*} & & \int \!\! \int_{\partial V} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \\ & = & \i... ... +{\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over\partial z})dxdydz \end{eqnarray*}$

以及

$\displaystyle \int_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz$	=	$\displaystyle \int \!\! \int_{S}\!({\partial R \over \partial y} - {\partial Q \over \partial z})dydz$
	+	$\displaystyle ({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x})dzdx$
	+	$\displaystyle ({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy$	(33)

這一切可以再推廣到 $\bf R^n$ 的可定向 k 維可微分子流形 $M \subset \bf R^n$ ，用微分式的積分與外微分理論，統合成為廣義的 Stokes 定理：

$\begin{displaymath} \int_{M} d\omega = \int_{\partial M} \omega \end{displaymath}$

(34)

其中 ω 為 k-1 型微分式。這是微積分學根本定理最本質的形式。

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編輯：鄧惠文 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002