從醉月湖的面積談起 (第 4 頁)

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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介（第 4 頁）

蔡聰明

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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4. 推廣成 Green 定理

公式(8)是露出海面上的冰山之一角，底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座冰山，我們將(8)式重新整理成：

$\begin{displaymath} \int \!\! \int_\Omega 2dxdy=2S=\oint_\Gamma xdy-ydx \end{displaymath}$

(10)

其中 Ω 表示 Γ 所圍成的領域，通常也記 $\Gamma=\partial\Omega$ ，表示 Ω 的邊界。

(10)式顯示兩重積分與線積分具有密切關係。常函數 $\varphi(x,y)=2$ 在 Ω 的內部作兩重積分就等於向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 沿 Ω 的邊界 $\partial\Omega$ 作線積分。這條線索類似於微積分根本定理

$\begin{eqnarray*} \int_{[a,b]} f'(x)dx &=& \int_{\partial[a,b]}f(x)dx \\ &=& f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$

亦即 f 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分（得 f(b)-f(a)）等於 f 的變化率 f' 在 [a,b] 上作積分。因此，常函數 $\varphi(x,y)=2$ 似乎應該就是向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 的某種「變化率」（或「微分」）。

為了尋找兩重積分與線積分的一般關係式，我們考慮平面上的向量場

$\begin{displaymath}\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j\end{displaymath}$

沿著一條封閉曲線 Γ 作線積分

$\begin{displaymath}\oint_\Gamma\vec F\cdot d\vec r=\oint_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{displaymath}$

問題4：: 線積分 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 可化成 Ω 上什麼形式之兩重積分，包括(10)式為特例？

我們仔細觀察(10)式。欲 $\oint_\Gamma xdy-ydx$ 改寫成 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 之形，只需取

$\begin{displaymath} P(x,y)=-y \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}} Q(x,y)=x \end{displaymath}$

就好了。但是 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 這一項怎麼來的呢？容易看出

$\begin{displaymath}{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}=1-(-1)=2\end{displaymath}$

因此 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 就是由 $\int \!\! \int_\Omega ({\partial Q\over \partial x}- {\partial P\over \partial y})dxdy$ 得來的。

到此為止,我們已經可以提出猜測(Conjecture)：

$\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega} P dx + Q dy = \int \!\! \int_\Omega ... ...rtial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y}) dxdy \end{displaymath}$

(11)

我們先用一個例子來檢驗(11)式。

例3：

設 $\vec F(x,y) = 2y \vec i+3x \vec j$ ，即 P(x,y) = 2y , $\quad Q(x,y) = 3x$ , $\Gamma :x^2 + y^2 =1$ 為單位圓，取參數方程式

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=\cos t\\ y=\sin t \quad ,0\le t\le 2\pi \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

則

$\begin{eqnarray*} && \oint_\Gamma Pdx+Qdy\!=\!\oint_\Gamma 2ydx+3xdy \\ &=& \i... ...&=& \int_{0}^{2\pi}({1\over 2}+{5\over 2}\cos 2t)dt \\ &=& \pi \end{eqnarray*}$

另一方面

$\begin{eqnarray*} && \int\!\!\int_\Omega ({\partial Q\over \partial x} - {\part... ...rtial y})dxdy \\ &=& \int \!\! \int_{x^2+y^2\le 1}(3-2)dxdy=\pi \end{eqnarray*}$

因此，上述猜測對於本例成立。

我們已有相當理由支持(11)式之猜測，那麼我們就試證看看吧。仍然從最簡單的情形著手：

(i)當 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 為矩形領域時，參見圖8。

$\begin{eqnarray*} &&\,\oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\ &=& \int_{a}^{b}P(x,c)d... ...t_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy\\ && -\int_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx \end{eqnarray*}$

由 Newton-Leibniz 公式（簡稱 N-L 公式）知

$\begin{eqnarray*} Q(b,y)-Q(a,y)=\int_{a}^{b}{\partial Q\over \partial x}dx\\ P(x,d)-P(x,c)=\int_{c}^{d}{\partial P\over \partial y}dy \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*} && \oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy \\ &=& \int_{c}^{d}\int_{... ... ({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy \end{eqnarray*}$

圖8

(ii)其次考慮平面領域 Ω，滿足：邊界 $\Gamma=\partial\Omega$ 跟平行於 x 軸與 y 軸的直線至多只交於兩點，參見圖9。

圖9

我們只需要證明

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx=-\int \!\! \int_\Omega {\partial P\over \partial y}dxdy \end{displaymath}$

(12)

與

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Qdy=\int \!\! \int_\Omega {\partial Q\over \partial x}dxdy \end{displaymath}$

(13)

再相加起來就好了。今證(12)式：邊界 Γ 可以分成兩部分
$\Gamma_1:CDA$ 與 $\Gamma_2:ABC$

分別由函數
y=f₁(x) 與 y=f₂(x), $x \in [a,b]$ 所定義，於是

$\begin{eqnarray*} & & \oint_\Gamma Pdx \\ & = & \int_{\Gamma_1} Pdx \,+\, \in... ... & = & - \int \!\! \int_\Omega {\partial P\over\partial y}dxdy \end{eqnarray*}$

同理可證明(13)式。

(iii)當 Ω 為單純連通領域 (simply connected region) 時，可以分割成幾個(ii)的領域之聯集，這種情形上述的猜測也成立。參見圖10。

圖10

定理3：（Green 定理，1828年）

設 Ω 為由封閉曲線 Γ 所圍成的單純連通領域，並且 P , Q , ${\partial Q\over\partial x}$ , ${\partial P\over\partial y}$ 在 Ω 上皆為連續函數，則

$\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy \end{displaymath}$

(14)

註：: 我們不去追求最廣泛的 Green 定理。一般微積分教科書都將(10)式貶為是(14)式的特例或腳註。我們反其道而行，將(10)式視為是生出(14)式的胚芽 (germ) 或線索 (clue)。

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編輯：鄧惠文 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002