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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介 （第 5 頁）

蔡聰明

 

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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5. 整裝待發

如何將 Green 定理推廣到三維空間？為此，我們要對於 Green 定理的形式與內涵兩方面作更詳細的考察。

   
 
5.1 形式上的觀察

Green 定理可以寫成兩個等價的形式：

\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy \end{displaymath} (15)


\begin{displaymath} \oint_\Gamma Pdy-Qdx=\int \!\! \int_\Omega ({\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y})dxdy \end{displaymath} (16)

事實上，在(15)式中，將 P 改為 -Q，Q 改為 P，就得到(16)式；反過來，在(16)式中，將 P 改為 Q，Q 改為 -P，就得到(15)式。

進一步，採用向量記號將(15)與(16)改寫：

令向量場 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$, 及微分算子 $\nabla={\partial\over\partial x}\vec i+{\partial\over \partial y}\vec j$。 模仿向量的內積與外積運算，我們定義：

$\displaystyle \nabla\cdot\vec F$ = $\displaystyle ({\partial\over\partial x}\vec i +{\partial\over\partial y}\vec j)\cdot(P\vec i+Q\vec j)$  
  = $\displaystyle {\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y}$ (17)


$\displaystyle \nabla\times\vec F$ = $\displaystyle ({\partial\over\partial x} \vec i+{\partial\over\partial y}\vec j)\times(P\vec i+Q\vec j)$  
  = $\displaystyle \left\vert\begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ {\partia... ...l\over\partial y}&{\partial\over\partial z}\\ P & Q & 0 \end{array}\right\vert$  
  = $\displaystyle ({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y}) \vec k$ (18)

再令 s 表示曲線 Γ 之弧長參數，ds 表示無窮小線元，於是單位切向量為

\begin{displaymath}\vec T= \frac{dx}{ds} \vec i+\frac{dy}{ds}\vec j \end{displaymath}

向外單位法向量為

\begin{displaymath}\vec n=\frac{dy}{ds} \vec i-\frac{dx}{ds} \vec j \end{displaymath}


圖11

參看圖11。於是

\begin{eqnarray*} & & \oint_\Gamma \vec F\cdot \vec T ds \\ & = & \; \oint_\G... ...\over ds}\vec j)ds \nonumber \\ & = & \; \oint_\Gamma P dx+Qdy \end{eqnarray*}


以及

\begin{eqnarray*} &&\oint_\Gamma \vec F\cdot\vec n ds \nonumber \\ & = & \; \o... ...x\over ds}\vec j)ds \nonumber \\ & = & \; \oint_\Gamma Pdy-Qdx \end{eqnarray*}


從而(15), (16)兩式可分別改寫成：
\begin{displaymath} \oint_\Gamma\vec F\cdot\vec Tds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k dA \end{displaymath} (19)


\begin{displaymath} \oint_\Gamma\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(\nabla\cdot\vec F)dA \end{displaymath} (20)

其中 dA 表示無窮小的面積元。(19)式叫做切向式(tangential form)，(20)式叫做法向式(normal form)。換言之，Green 定理有(15)、(16)、(19)與(20)四種化身。這四個式子都叫做 Green 公式。

   
 
5.2 內涵的掌握

$\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$ （即(17)與(18)兩式）代表什麼物理意義呢？

由於 Green 公式與 N-L 公式在形式與內涵上都具有相同的本質，所以 $\nabla\cdot\vec {F}$、 $\nabla\times\vec F$ 與函數 f' 應該具有密切關連。

問題5：
如何解釋 N-L 公式

\begin{displaymath}f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx\quad ?\end{displaymath}

我們採用流體流動的觀點來解釋。考慮一根直線管子，參見圖12，假設橫截面具有單位面積。


圖12

今想像有流體在管子中流動，其速度場為 $\vec v (x)=v(x)\vec i$，密度為 $\rho (x)$。令向量場

\begin{displaymath} \vec F(x)=\rho (x)v(x)\vec i=f(x)\vec i \end{displaymath}

這叫做流體的通量向量場 (the flux vector field of the flow)。因此，f(x) 表示單位時間流體通過 x 點處橫截面之通量 (flux)。由於 $\vec i$ 是向右之單位向量，故當 f(x)>0 時，表示流體向右流過 x 點處的截面；當 f(x)<0 時，表示流體向左流過 x 點處的截面。於是從大域的 (global) 眼光來看，f(b)-f(a) 表示在管段 [a,b] 中，單位時間流體的減少量，即單位時間流體流出 [a,b] 的通量。

另一方面，從局部的 (local) 眼光來看流速場的變化。考慮區間 $[\alpha,\beta] \subset[a,b]$ 且 $x\in (\alpha,\beta)$，那麼 $f(\beta)-f(\alpha)$ 表示在管段 $[\alpha,\beta]$ 中單位時間流體的減少量，從而，牛頓商 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ 表示單位時間單位長度管段 $[\alpha,\beta]$ 中流體的平均減少量。因此微分

\begin{displaymath} f'(x)=\lim_{\beta\downarrow x,\alpha\uparrow x}{f(\beta)-f(\alpha) \over\beta-\alpha} \end{displaymath} (21)

表示單位時間單位長度流體在 x 點處的減少量，亦即在 x 點單位時間單位長度流散出的量，因此叫做散度 (divergence)。按積分的定義可知， $\int_{a}^{b} f'(x)dx$ 表示單位時間流體在 [a,b] 中的減少量。今因流體不會無中生有，也不會無故消失，所以 N-L 公式

\begin{displaymath}f(b)-f(a) = \int_{a}^{b}f'(x)dx \end{displaymath}

顯然成立。這是一種散度定理。

上述流體的觀點，推廣到兩維平面恰好也就是 Green 定理(20)式的解釋。為了說明這件事，我們必須推廣(21)式。

在(21)式中，分母可改為矩形的面積，但是分子較難推廣，不過並不絕望。我們重新整頓一下 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$：分母是區間 $I=[\alpha,\beta]$ 的長度，記為 |I|，而分子 $f(\beta)-f(\alpha)$ 改為

\begin{displaymath}f(\beta)-f(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{2}(-1)^i f(r_i)\end{displaymath}

其中 $r_1 = \alpha, r_2 = \beta$ 是 I 的邊界點，符號 (-1)i 表示在左端點取負號，右端點取正號，這樣才符合流體流出 $I=[\alpha,\beta]$ 的意思，即在 I 的端點流體是向外流出的。換言之，在邊界點都賦予向外法向之概念，即
\begin{displaymath} f'(x)=\lim_{I\downarrow {x}} \frac{\sum f(r_i)\cdot \mbox{({... ...ily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 178})}}{\vert I\vert} \end{displaymath} (22)

其中 $\sum\limits$ 是對 I 的邊界點來求和的。經過這樣的修飾，(22)式才適合推廣到高維空間。

設 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ 為兩維平面上的一個向量場，想像成流體的通量向量場。令 $S\subset \bf R^2$ 為平面上一塊領域，$(x,y)\in S$，將(22)式中的求和 $\sum\limits$ 改為沿邊界 $\partial S$ 作積分，即定義：

\begin{displaymath} \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec n ds\over \vert S\vert}=(div\vec F)(x,y) \end{displaymath} (23)

叫做向量場 $\vec F$ 在 (x,y) 點的散度 (divergence)，其中 |S| 表示 S 的面積，$\vec n$ 表示沿邊界的 $\partial S$ 的向外單位向量。這是一維導數(22)式的類推與推廣。

根據定義， $(div\vec F)(x,y)$ 代表在 (x,y) 點處單位時間單位面積流體向外流出的通量。這是局部變化率，是向量場 $\vec F$ 的一種「微分」概念。


圖13

按兩重積分的定義， $\int \!\! \int_\Omega(div F)dA$ 的意義是：將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊，參見圖13。於是 $(div\vec F)dA$ 表示單位時間流體流出 dA 的通量，然後對整個 Ω 連續求和，即作積分，就得到 $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 。由於在內部的邊界，流體的進出恰好抵消，整個合起來只剩下流出邊界 $\partial\Omega$ 的通量。因此， $\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA$ 代表單位時間流體流出 $\partial\Omega$ 的通量。另一方面，這個流出通量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds$，所以下式顯然成立：

\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds=\int \!\! \int_\Omega(div\vec F)dA \end{displaymath} (24)

此式跟(20)式還有一段距離，不過我們可以證明
\begin{displaymath} div\vec F=\nabla\cdot\vec F={\partial P\over\partial x}+ {\partial Q\over\partial y} \end{displaymath} (25)

代入(24)式就得到法向式的 Green 公式了。

另一方面，在上述(23)式的定義中，其分子是沿邊界 $\partial S$ 的向外單位法向作積分，現在如果改為沿邊界的切向 $\vec T$ 作積分，用循環量 (Circulation) 代替通量 (flux)，就得到旋度 (Curl 或 rotation) 的定義：

\begin{displaymath} \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds\over \vert S\vert} = (rot\vec F)(x,y)\cdot\vec k \end{displaymath} (26)

換言之，$rot\vec F$ （有時也記為 $Curl\vec F$）為一個向量場，它在 z 軸的投影恰好就是流體在 (x,y) 點處單位時間單位面積的循環量。這也是局部變化率，是向量場 $\vec F$ 的另一種「微積分」概念。


圖14

按重積分的定義， $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 的意義是： 將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊，參見圖14。 於是 $(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 表示單位時間流體繞 dA 的循環量，然後對整個 Ω 作積分得到 $\int \!\! \int_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 。由於沿內部的邊界之循環量恰好來回抵消， 整個合起來只剩下沿邊界 $\partial\Omega$ 的循環量。另一方面，這個總循環量按定義就是線積分 $\oint_{\partial\Omega} \vec F\cdot\vec T ds$，所以下式顯然成立：

\begin{displaymath} \oint_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec T ds=\int \!\! \int_\Omega (rot\vec F)\cdot\vec k dA \end{displaymath} (27)

我們也可以證明
\begin{displaymath} (rot\vec F)\cdot\vec k=(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k= {\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y} \end{displaymath} (28)

代入(27)式就得到切向式的 Green 公式了。


圖15

下面我們就來證明(25)與(28)兩式。

為了計算方便起見，我們作一矩形，以 (x,y) 點為中心，圍成領域 S，並且四邊跟 x 軸或 y 軸平行，參見圖15。設 $AB=\Delta x, BC=\Delta y$，於是四個頂點的坐標為

\begin{eqnarray*} A=(x-{1\over 2}\Delta x,y-{1\over 2}\Delta y),\\ B=(x+{1\over... ...r 2}\Delta y),\\ D=(x-{1\over 2}\Delta x,y+{1\over 2}\Delta y), \end{eqnarray*}


我們先證明(25)式。為此，必須估算流體流出 S 之通量。流體流出邊界 AB, CD, AD 與 BC 的通量分別約為

\begin{eqnarray*} &-Q(x,y-{1\over 2}\Delta y)\cdot\Delta x,\\ &Q(x,y+{1\over 2}... ...a x,y)\cdot\Delta y,\\ &P(x+{1\over 2}\Delta x,y)\cdot\Delta y, \end{eqnarray*}


其中我們取四邊的中點當估值的代表點。因此，流出 S 的通量約為

\begin{eqnarray*}[P(x + {1\over 2}\!\Delta x,y) - P(x - {1\over 2}\!\Delta x,y)]... ... {1\over 2}\!\Delta y) - Q(x,y - {1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x \end{eqnarray*}


由平均變率定理 (Mean value theorem)，這個通量為
\begin{displaymath}[{\partial P\over\partial x}(x\!+\!\xi\Delta x,y) + {\partial Q\over\partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y \end{displaymath} (29)

其中 $0<\xi,\eta<1$。顯然，當 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 越來越小時，近似估計就越來越精確。

今將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$，再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於 0，則得

\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve... ...ial P\over \partial x}(x,y) + {\partial Q\over \partial y}(x,y)\end{displaymath}

亦即

\begin{displaymath}(div\vec F)(x,y) = (\nabla\cdot\vec F)(x,y)\end{displaymath}

於是(25)式得證。

其次證明(28)式，仍然參見圖15。我們要估算流體沿邊界 $\partial S$ 的循環量，即 $\vec F$ 沿 AB、BC、CD、DA 的線積分，其總和約為

  $\textstyle [P(x,y\!-\!{1\over 2}\!\Delta y) - P(x,y\!+\!{1\over 2}\!\Delta y)] \Delta x$    
  $\textstyle + [Q(x\!+\!{1\over 2}\!\Delta x,y) - Q(x\!-\!{1\over 2}\!\Delta x,y)] \Delta y$    
= $\textstyle [{\partial Q\over\partial x}(x+\xi\Delta x,y) - {\partial P\over \partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y$   (30)

其中 $0<\xi,\eta<1$。

將(29)式除以 $\vert S\vert=\Delta x\Delta y$，再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於0，得到

\begin{displaymath}\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S} \vec F\cdot\ve... ...ial Q\over\partial x}(x,y) - {\partial P \over \partial y}(x,y)\end{displaymath}

亦即

\begin{displaymath}(rot\vec F)(x,y)=(\nabla\times\vec F)(x,y)\end{displaymath}

從而(28)式得證。

   

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編輯：鄧惠文 ／ 校對：康明軒 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：4/26/2002