淺談 Stokes' 定理與電磁學

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．原載於數學傳播第十八卷第四期
．作者當時任教於交大應數系

淺談 Stokes' 定理與電磁學

邵錦昌
記錄：李啟鈴

1. Stokes'定理與 Gauss定理
2. 三個電磁的實驗定律
3. Maxwell's Equations
4. 波動現象
5. 結語

今天我們所要討論的是一個跟數學與物理有關的題目，而這個題目如果從歷史上來看的話，它是來自於物理的，當然現在是屬於數學的範疇，我們現在就看一看。

1. Stokes'定理與 Gauss定理

第一個公式叫做Stokes'定理, 我們把它寫下來是這樣的一個公式:

$\begin{displaymath}\oint_{c} \overrightarrow{A} \cdot d \overrightarrow{\ell} = ... ...s_S (\nabla \times \overrightarrow{A}) \cdot \hat{n}da \eqno(1)\end{displaymath}$

上面這個公式, 一邊是線積分, 一邊是面積分, 所以我要假設各位已經有了線積分和面積分的基礎, 那麼這個公式是什麼意思呢? 就是說我們假設空間中有一個向量 $\overrightarrow{A}$ (如圖1) , $\overrightarrow{A}$ 是隨著空間的點在變, 不同的點上有一個不同的向量, 這樣的東西我們就叫做一個向量場。

然後，我們隨便畫一個曲線 C，那麼我們就可以把這個向量場沿著這個曲線去做線積分，積完以後我們就得到一個值，這個值是等於什麼東西呢? 假如在這個曲線上，我們拿出一塊布把它蓋起來。造一個曲面，而以這個曲線為邊界。我們現在就利用剛剛那個向量場來求一個叫做旋度(curl)的東西，它的公式是

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mbox{curl}\overrightarrow{A} &=& \nabla ... ... \overrightarrow{A} &= & (A_1, A_2, A_3) \end{array} \eqno(2) \end{displaymath}$

圖1

curl $\overrightarrow{A}$ 是由 $\overrightarrow{A}$ 導出的另一個向量場。其中 $\hat{e}_1$ 是指x軸, $\hat{e}_2$ 是y軸, $\hat{e}_3$ 是z軸, $\overrightarrow{A}$ 在x、 y、 z軸上的三個分量, 我們分別表示為A₁、A₂、A₃, 它們都是函數, 因為 $\overrightarrow{A}$ 是隨著 x、y、z 在變, 所以 A₁、A₂、 A₃當然也是函數。這裡我們為了等一下的理由把x、 y、z 改寫成x₁、x₂、x₃, 然後把 $\overrightarrow{A}$ 的分量A₁、A₂、A₃ 對x₁、x₂、x₃ 分別取導數, 再經過適當的運算,我們就得到一個由 $\overrightarrow{A}$ 所導出的向量場, 當然, 在每一個地方都有一個curl $\overrightarrow{A}$ , 我們把每一點的curl $\overrightarrow{A}$ 這個向量跟剛剛我們造的這個曲面當點上的法向量 $\hat{n}$ 去做內乘(dot), 做完以後這也是一個函數, 在曲面上每一點都有一個值, 然後乘上曲面的面積元素da去做曲面積分, 所得到的結果和剛才的線積分相等, 這就是Stokes'定理。我們要注意一件事情, 這個曲面是任意的, 可以證明, 對於任意一個以這個曲線為邊界的曲面, 我們所做出來的積分值不變, 換句話說, 我們到底選擇什麼曲面並沒有關係。

底下我們再介紹另外一個定理, 我們叫做Gauss定理

$\begin{displaymath}\int \; \int\limits_S\hskip -15pt \bigcirc\hskip .3cm \overri... ...\; \int\limits_V \nabla \cdot \overrightarrow{A} d^3 x\eqno(3)\end{displaymath}$

我們還是一樣在空間中有一個向量場 $\overrightarrow{A}$ , 然後我們現在選一個封閉的曲面S, 一個封閉的曲面就會包圍一個體積V(如圖2)

圖2

然後我們跟剛剛一樣在曲面上做曲面積分, 剛剛是用curl $\overrightarrow{A}$ 去做, 現在我們用 $\overrightarrow{A}$ 本身去做, 這個意義是完全一樣, 我這裡特別在積分符號上畫個圈, 只不過強調現在的S是一個封閉的曲面。我們現在看右邊, 右邊是利用 $\overrightarrow{A}$ 去做一個跟它相關的東西, 我們叫做散度(divergence), 用 $\mbox{div}$ $\overrightarrow{A}$ = $\nabla$ $\cdot$ $\overrightarrow{A}$ 來表示, 剛剛我介紹的curl $\overrightarrow{A}$ 是一個向量, 現在所介紹的 $\mbox{div}\overrightarrow{A}$ 本身並不是一個向量, 而是一個數量函數, 它的定義是

$\begin{displaymath}\mbox{div}\overrightarrow{A}= \nabla \cdot \overrightarrow{A}... ...A_2}{\partial x_2} + \frac{\partial A_3}{\partial x_3} \eqno(4)\end{displaymath}$

這個函數在V裡面每一點都有一個值, 然後乘上d³x這個小體積去做體積分, 結果我們得到邊界上的曲面積分等於裡面的體積分, 這就是Gauss定理。

Stokes' 定理與Gauss定理會成立的原因, 其實就是微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus), 微積分基本定理是這樣的一個公式:

$\begin{displaymath}f(b)-f(a)=\int^{b}_{a}f^{'}(x)dx\eqno(5)\end{displaymath}$

右邊是1- $\dim$ 的積分, 左邊是0- $\dim$ , 如果我們有一個線段, 它有兩個邊界a和b, 那麼點算是0- $\dim$ 的東西, 所以左邊算是0- $\dim$ 的一個量, 微積分基本定理就是函數在這兩個點上的值的差f(b)-f(a) 等於在這個線段上的這個函數導數的積分, 當然這個定理各位都很熟悉, 而事實上這個定理也是在所有數學中最重要的一個定理。這個定理我們有各種各樣的變形, 可以將它推廣到高維空間上面。現在我們看Stokes' 定理, 左邊是1- $\dim$ , 因為它是線積分, 在線上面做1- $\dim$ 的積分, 等於一個2- $\dim$ 的積分, 而這個1- $\dim$ 的積分區域是2- $\dim$ 積分區域的邊界, 我們剛才所定義的curl $\overrightarrow{A}$ 是 $\overrightarrow{A}$ 的一種導數, 所以右邊就變成一個函數導數的積分; Gauss定理也是同樣的道理, 所以這兩個定理只不過是微積分基本定理應用到1- $\dim$ 和2- $\dim$ 的關係、2- $\dim$ 和3- $\dim$ 的關係而已。其實這樣的定理有很自然的推廣,可以推廣到(n-1)- $\dim$ 和n- $\dim$ 的關係, 當然我們必須要知道如何把curl和divergence的觀念推廣到n維的情況, 推廣出去之後的定理通稱為Stokes' 定理。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002