非標準微積分簡介 (第 5 頁)

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非標準微積分簡介（第 5 頁）

鄭穗生

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任教於清大數學系
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五、積分

上節例題說明導數可經由非標準分析法定義。同樣，積分也可透過黎曼和作為分割長度的函數的自然擴張達成定義。簡單來說，對於一定義於區間 [a,b] 上之實函數 f，取正數 h，並在 [a, b] 上取分點 a,a+h,a+2h, $\cdots\cdots$ , a+nh,b；這裏 n 是使 $a+nh \leq b$ 成立之最大整數，則黎曼和

$\begin{eqnarray*} S(h) &=& f(a)h + f(a+h)h + \cdots\cdots \\ && {} + f(a+nh)h + f(b)(b-a-nh) \end{eqnarray*}$

是 h 的函數。如 $h \approx 0$ 而且 $h \neq 0$ 時，^*S(h) 是有限超函數，則其標準部稱為 f 在 [a, b] 上之積分。

不難證明，如 f 連續，^*S(h) 必為有限超實數（故積分存在）。另外，積分中值定理及可加性亦成立。既然如此，則微積分基本定理成立，而且積分與一般定義之黎曼積分無異。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文

最後修改日期：4/26/2002