關於圓周率π

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．原載於數學傳播第十三卷第三期
．作者當時任職於中央研究院數學研究所

關於圓周率π

余文卿

1.圓周率的定義與近似值
2.π 與級數的和
3.π是無理數
4.π是一超越數
5. π的數值計算的歷史(西方)

1.圓周率的定義與近似值

圓周率 π是圓的周長與直徑的比，即直徑是 1 的圓周長是 π，使用積分的定義則是

$\begin{displaymath} \pi = 2 \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \end{displaymath}$

自古以來，種種方法被運用於求 π 的近似值。以 A_n，B_n 表示單位圓的內接與外切之正 n 邊形面積，則有

$\begin{displaymath} A_n = \frac{n}{2}\sin \frac{2\pi}{n} , \quad B_n=n \tan \frac{\pi}{n} \end{displaymath}$

因而 $A_n < \pi < B_n$ 。π的值到小數點後200位是

$\begin{eqnarray*} \pi & = & 3.1415926535 \; 8979323846 \; 2643383279 \; 50288419... ...& & \;\;\; 8410270193 \; 8521105559 \; 6446229489 \; 5493038196 \end{eqnarray*}$

取 π = 31,415,926,535/10,000,000,000，做輾轉相除法得 π 的連分數表示是

$\begin{displaymath} \pi=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{\vdots}}}}}} \end{displaymath}$

而前面七個近似分數是

$\begin{displaymath} \frac{1}{3},\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{103993}{33102},\frac{104348}{33215},\frac{208341}{66317} \end{displaymath}$

阿基米德考慮圓內接與外切正96邊形，而得出 $3\frac{10}{71}< \pi < 3 \frac{1}{7}$ ；而西元五世紀左右，祖沖之得出的近似值 $\frac{355}{113}$ ，近代更用計算機，將 π 的值計算到 16,000,000位。

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002