關於圓周率π (第 3 頁)

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關於圓周率π （第 3 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播第十三卷第三期
．作者當時任職於中央研究院數學研究所
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3.π是無理數

到底 π 是無理數或有理數呢？答案非常明顯，一定是無理數，否則就不用費這麼大的功夫去計算近似值與近似分數了。1761年 J.H. Lembert 利用 Brouncker 所得出 π 的連分數

$\begin{displaymath} \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1+\frac{2^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+ \cdots}}}}} \end{displaymath}$

而得證 π 是無理數，底下是一淺近的分析證明。

設 f(x) 是 2n 次多項式，則利用連續部份積分得出

$\begin{eqnarray*} J&=&\pi \int_0^1 f(x)\sin \pi x dx\\ &=&\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k(f^{(2k)}(0)+f^{(2k)}(1)}{\pi^{2k}} \end{eqnarray*}$

現取 $f(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!}$ ，則顯然有 f(x)=f(1-x)，因而對任意正整數 k， f^(k)(0)=(-1)^k f^(k)(1)。現證明 f^(k)(0) 是整數，利用數學歸納法可證明

$\begin{displaymath} (\frac{d}{dx})^k[f(x)g(x)] =\sum_{j=0}^{k} \left( \begin{arr... ...ight) [(\frac{d}{dx})^j f(x)] \cdot [(\frac{d}{dx})^{k-j}g(x)] \end{displaymath}$

因而

$\begin{displaymath} f^{(k)}(x)=\frac{1}{n!} \sum_{j=0}^{k} \left( \begin{array}{... ...t) [(\frac{d}{dx})^{j}x^n] \cdot [(\frac{d}{dx})^{k-j}(1-x)^n] \end{displaymath}$

但

$\begin{displaymath}[(\frac{d}{dx})^jx^n]_{n=0} =\left\{ \begin{array}{cl} 0 & ,0... ...< n ; \\ n! & ,j=n ; \\ 0 & , j > n .\\ \end{array}\right . \end{displaymath}$