泰勒級數及其一些應用 (第 5 頁)

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泰勒級數及其一些應用（第 5 頁）

楊重駿

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．原載於數學傳播第十卷第四期
．作者當時任職於美國海軍實驗室
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5. 洛皮脫 (L'Hospital) 法則

附帶在此順便介紹的是，當所涉及的函數在極限點鄰近的導函數存在時，我們對函數的極限值的討論，有時可轉成導函數比值的考慮，往往使得問題很容易解決，這就是所謂的洛皮脫法則。

定理5
設 f(x) 及 g(x) 當 $x\rightarrow$ （a 可為 $\infty$ ）時，f(x) 與 g(x) 都同趨向於 0（或 $\infty$ ），而至少在點 a 的某個鄰域內（點 a 本身除外），f'(x) 及 g'(x) 都存在，且 g(x) 在該鄰域內總不為 0，並且 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)} {g'(x)}$ 存在（也可為 $\infty$ ），則

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{displaymath}$

這個定理的證明主要是應用了推廣的均值定理。一般微積分的教科書都可找到。在此提及此法則目的是希望引起讀者注意對用洛比脫法則求 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的不定型式的極限是有條件的，如濫用它就可能出問題的。如

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2\sin {\frac{1}{x}}}{\sin{x}} ... ...\rightarrow 0} \frac{x\sin {\frac{1}{x}}}{\frac{\sin{x}}{x}}=0 \end{displaymath}$

但如用洛比脫法則，就有

$\begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2\sin {\frac{1}{x}}}{\sin{x}}\... ...rrow 0} \frac{2x\sin{\frac{1}{x}}-\cos{\frac{1}{x}}}{\cos{x}}\end{displaymath}$

而上式中右邊的極限不存在。另外對使用洛比脫法則的合格性也是要注意的。如求

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x} \end{displaymath}$

如逕用洛比脫法則，得

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin{x}}{x} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(\sin{x})'}{(x)'} =\lim_{x\rightarrow 0} \cos{x} = 1 \end{displaymath}$

這個答案雖然是正確的，但在推理的邏輯上是不對的。因我們在使用洛比脫法則中引用了導數公式 $(\sin x)' = \cos x$ ，而這公式的推導過程中，其實是用了極限 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 的結果。

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編輯：洪瑛 ∕ 校對：簡立欣 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002