泰勒級數及其一些應用 (第 4 頁)

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泰勒級數及其一些應用（第 4 頁）

楊重駿

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．原載於數學傳播第十卷第四期
．作者當時任職於美國海軍實驗室
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4.不定型的討論

在分析上一個函數 f(x) 的導函數是指下列形式

$\begin{displaymath}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{displaymath}$

當 $h \rightarrow 0$ 時極限存在。

我們可以說若一個函數 f 具有導函數，則上式當 $h \rightarrow 0$ 時趨向於 f'(x)。但另一方面，若我們把 h=0 代入上式分子及分母中，則得

$\begin{displaymath}\frac{0}{0}\end{displaymath}$

的不定型式。

而這也是若不加思索說「一個商式的極限為其分子及分母極限之比值」所得的結果。這個關鍵點是我們忽略了，在這規則中能成立的先決條件是分母之極限值要不為0才行。同樣的是

$\begin{displaymath}\frac{2z^2+4}{z^2(z-1)}-\frac{6}{z-1}\end{displaymath}$

當 $z\rightarrow1$ 時極限值為-8，但我們若直認說「兩式差的極限，為各式極限的差」，上式就導至 $\infty-\infty$ 的不定型。另外常碰到的不定型有 $0\cdot \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $1^{\infty}$ , $\infty^0$ , 0⁰ 等。我們現就討論如何利用泰勒展開式處理這些所謂的「不定型」的技巧。

最簡單的情形是下面的一個結果：

定理4：
設 f(x) 及 g(x) 在 x=a 的泰勒展開式分別為

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} f(a+h) &= a_mh^m+a_{m+1}h^{m+1}+\cdots\cdots \\ g(a+h) &= b_nh^n+b_{n+1}h^{n+1}+\cdots\cdots \end{eqalign}\end{displaymath}$

其中 a_i, b_i 等皆為常數，分別與 f 在 a 的各階導數值及 g 在 a 的各階導數值有關則

$\begin{displaymath} \lim_{h\rightarrow0} \frac{f(a+h)}{g(a+h)} = \begin{cases} ... ...ly{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 74} $m<n$ } \end{cases}\end{displaymath}$

證：
這是因為當 h 很小時

$\begin{displaymath}\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{a_m}{b_n} h^{m-n}[1+o(1)]\end{displaymath}$

另見定理由此得證。

例4.1 試證

$\begin{displaymath} \lim_{h\rightarrow0} \frac{e^k-1-h}{h+h^3} = 0 \end{displaymath}$

因為 f(x)=e^x-1-x 在點 a=0 的泰勒展開式為

$\begin{displaymath}f(h)=\frac{1}{2}h^2+\frac{1}{6}h^3+\cdots\cdots\end{displaymath}$

及 g(h)=h+h³ 由上定理，立即得所求的結果。

例4.2 試求 $\lim_{x\rightarrow+\infty} x\{(1+\frac{1}{x})^x-e\}$ ; e為自然對數的底 $=\lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ , n 為正整數。

解：
設

$\begin{displaymath} G(x) = x \{(1+\frac{1}{x})^x-e \} \end{displaymath}$

我們先證

$\begin{displaymath} \lim_{x\rightarrow+\infty} (1+\frac{1}{x})^x =e \end{displaymath}$

（注意它屬 $1^{\infty}$ 的不定型）
則對 G(x) 就形成 $\infty \cdot 0$ 的不定型。

我們通常把一個函數f(x)在無窮遠點 $\infty$ 的動態作 $x=\frac{1}{y}$ 的變數變換後，討論新的函數在0點的舉止。我們現令

$\begin{displaymath}G(x)=F(y)=(1+y)^{\frac{1}{y}}\end{displaymath}$

由 e 的定義為 $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ ；n為正整數。我們有

$\begin{displaymath}\lim{n\rightarrow\infty}F(\frac{1}{n}) = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e\end{displaymath}$

現我們要證：只要 y 趨向於0,則 F(y) 的極限值為e，即

$\begin{displaymath}\lim_{y\rightarrow0}F(y)=e.\end{displaymath}$

我們將計算 F(y)-e 及 F'(0)。為此我們考慮在 |y|<1 時

$\displaystyle \log F(y)$	=	$\displaystyle \frac{1}{y} \log (1+y)=\frac{1}{y}$
$\displaystyle {y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}\cdots\cdots}$	=	$\displaystyle 1-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{3} \cdots\cdots$	(9)