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我們先引用下面一個直覺而有用的結果，即所謂的 Rolle 定理。
- 定理1： 設f為定義在區間 [a,b] 上的實函數，
且 f 在 (a,b) 上到處可微分。若 f(a)=f(b) 則必有一點 c 介於 a，b 之間使得 f'(c)=0。
這個定理嚴格的分析證明涉及實數域的基本原理（即實數的完備性），不便在此多作說明。但我們可以參看圖形來認識定理1的真實性。值得注意的是條件f在(a,b)上到處可微分的條件不能放鬆一點。參看圖2或更簡單取 f(x)=|x|。此函數在 x=0 點不可微分，而在區間 [-1, 1] 內就除了 x=0 外都可微分，且 f(1)=f(-1)。參看圖3。但沒有一點 c，0<c<I，使得 f'(c)=0。
圖一
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圖二
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圖三
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有了 Rolle 定理我們就可推導出 Taylor 級數定理如下：
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- 定理2：
設 f 為定義在區間 [a,b] 上的連續函數，且在 (a,b) 上，f 具有 n+1 次的導函數，（即 f(n+1) 存在於 (a,b) 之上）。則
| f(b) |
= |
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(1) |
其中 ξ 為介於 a,b 之間的一點。一般若 x 為 (a,b)中任何一點，則
| f(x) |
= |
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(2) |
其中  。
- 證：只需要證明式(1)，對式(2)的證明是完全一樣的，考慮輔助函數，
| F(x) |
= |
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(3) |
其中 p 為一特定常數（與 a,b 有關但與 x 無關！）
現 F 滿足定理1 中的所有的條件，除了 F(a)=F(b) 的條件外，但 F(b)=0
故我們可取 p 使得 F(a)=0。於是可引用定理一得知
今微分(3)式、左邊為 F'(x) 而右邊的項皆互相抵銷，只剩下最後兩項。故
由上式及  可得
將此值代回 F(a)=0 中得
即(1)式得證。
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- 註：
1.當 n=0 時，就是所謂的均值定理 (Mean-Value theorem)。
2.此定理告訴我們如何由函數 f 在一點 a 的值及其該點的各階導函數之值，
對另一點的值 f(b) 做作適當的估計。由於 ξ 點通常為未知，但我們可把
視為將(1)式右邊前 (n+1) 項作為 f(b) 的一種估計的最大誤差。而通常一般函數
 ，及 n 相當大時，R 為很小。此現象在製造函數值表及數值分析上用到。
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