法國數學家 Pierre de Fermat（1601∼1665 年） 是一個有多方面才能的法官，他研究過希臘語言， 也寫過詩，但是他在數學上的成就最大。 Fermat 和 René Descartes（笛卡爾，1596∼1650年）， 分別創建了解析幾何， 他在微積分的創建與光學的研究上，都曾有卓越的貢獻，他更是近世整數論的開山祖師。

Fermat 問題就是研究方程式 x² + y² = z² 的整數解。 請注意幾個例子：

若 n 是任意大於2的整數，
則方程式 x² + y² = z² 沒有全異於零的整數解

在 Fermat 的時代，除了 Fermat 之外，幾乎沒有人對整數論感到興趣。譬如 Blaise Pascal（1623∼1662年）是一個絕頂聰明的人，可惜他對整論論的問題興緻不高，更妙的是 Pascal 最後竟發現神學比數學還有趣。 因此 Fermat 雖然發現了很多整數論的定理，卻只能孤芳自賞。這種情形或許可以說明，Fermat 為什麼不愛把這些定理的證明寫下來 ^註4 。 其實，Fermat 留下證明的整數論定理只有兩個，一個是： 方程式 x⁴ + y⁴ = z⁴ 沒有全異於零的整數解； 另一個是：聯立方程式 x=2y² -1 , x² = 2z²-1 只有當 x=1 或 7 時有整數解。

Fermat 在研究 Diophantus 的著作《Arithmetica》時，曾在該書的空白處留下一段話。他說：

「任何立方數（即，可以表示成 x³ 的數，其中 x 是整數）絕不能拆能兩個立方數的和。四方數亦然。更一般的，n 方數都如此，只要 。我發現一個精妙絕倫的證明，可惜在這兒寫不下。」

這就是 Fermat 問題的來源。

Fermat 這本藏書現在早已失落了。Fermat 死後，他的兒子把他所有的數學文稿整理出版，數學家才知道，Fermat 已經開闢了一個新世界──整數論。

Fermat 自稱能夠證明的整數論定理，除了兩個例外，後代的數學家都能提出證明。這兩個例外，一個是錯的（見本文第 8 節），另一個就是 Fermat 問題，沒有人能夠證明或提出反例。 正因為 Fermat 問題是 Fermat 留下的定理中最後一個還沒有解決的，所以有人把它叫做 Fermat最後定理 (Fermat last theorem)；把它叫做定理，是有一點冒險，因為到目前為止並沒有人能夠證明它。

1816年與1850年巴黎科學院兩度提供 3,000 法郎獎金，徵求 Fermat 問題的答案，但是毫無結果。自 Euler 算起，曾經和 Fermat 問題打過交道的有名數學家不勝其數： 例如，Gauss、Dirichlet、Legendre、Lamé、 Kummer 分別做出幾個特殊情形； Euler、Germain、Abel 做出某些特殊情形的部分結果； 而 Cauchy 卻不幸從一開始就走錯了路。 這麼多的一流數學家竟然會比不上一個 Fermat 嗎？因此，有人開始懷疑是不是 Fermat 自己的證明也不完全？這個定理會不會根本就是錯的呢？有趣的是，到目前為止，我們知道至少在 時，方程式 xⁿ + yⁿ = zⁿ 的確沒有全異於零的整數解（見本文第 7 節）。

從另一個角度來看，Fermat 問題究竟有什麼重要性呢？

Gauss 在給朋友的一封信說道：「Fermat 問題是一個孤立的問題，對我沒有特別的吸引。我很容易列舉一大堆這類型的問題；你既不能證明也提不出反例。」整數論的確有許多這種問題，例如，奇完全數的存在問題，Mersenne 數問題 ^註5 。 研究這些問題的人，有時過度渲染它們，結果常把初學者引入牛角尖去， 並且極易造成非數學家對數學價值的疑問。

但是偉大的 Gauss 這一次完全看走了眼。Fermat 問題並不是孤立的問題。 Fermat 問題的探討很自然的引起代數整數 (algebraic integers) 的研究， 因而創立了理想數 (ideal numbers) 的概念與代數數論 (algebraic number theory) 的基礎。 從另一方面來看，Gauss 在同一封信說：「如果能夠進行二次、三次、四次互逆定律 (reciprocity law) 的推廣，則 Fermat 問題只不過是這種高次互逆定律所能推演出來的結果之一而已。」 歷史證明 Gauss 只看到事物發展的一個方向，沒有看到另一個方向：Fermat 問題與高次互逆定律的研究其實是相互影響的。德國數學家 David Hilbert（1862∼1943年）在1900年的巴黎國際數學會，提出23個尚未解決的數學問題，他預測這些問題的研究將構成二十世紀數學的主流。Hilbert 的第九個問題就是高次互逆定律的研究。

Fermat 問題的敘述是這樣的淺顯，不免使某些人想憑從高中數學學來的粗淺整數性質解決 Fermat 問題。我不能說這種戰術一定不能解決 Fermat 問題，我只想指出一點，嘗試解決 Fermat 問題過程中，所耗費的智力與精力遠非一般人所能想像。 1982年在美國西雅圖開了一次有關 Fermat 問題的會議，會議記錄《Number theory related to Fermat's last theorem》由 Birkhäuser 公司出版。 只要翻一翻這本書的目錄，馬上能夠感覺出來 Fermat 問題對數論的影響是多麼深廣。

1908年 Fermat 問題的研究再度掀起高潮。 一個德國人 Paul Wolfskehl 捐了100,000馬克，懸賞 Fermat 問題的完整解答，他委託 Göttingen 大學負責評審工作。應徵的論文必須刊登在數學期刊或自行印成專門著作的形式，然後向 Göttingen 大學提出申請。

這份獎金反而造成某些數學家的災難。1907到1908一年之中，有621件應徵函件，不過全部是錯的。負責在這些滿紙荒唐言的論文中找出錯誤的數學家，一定是前世沒有積夠功德，今生才受此報。

第一次世界大戰之後，馬克大幅貶值，這份獎金幾乎變成毫無價值。可是由於第二次世界大戰後西德的經濟復興，這份獎金在1958才值7,600馬克，到1974年已積累至10,000 馬克左右（1馬克匯率約為14.7元新台幣）。 近年來 Fermat 問題每年的應徵函件，堆積起來仍有三呎高。評審的人員極感困擾。他們只好把應徵函件分成兩類，一類是完全胡說八道的，立即退回；另一類看來還有幾分像數學的，交給 Göttingen 大學數學系研究生找出錯誤。

一位在評審小組工作的人說：

「目前每個月大約總要收到三、四封信。有些應徵者這麼說：『我現在只寄來答案的前半部，如果評審人員先寄1,000馬克過來，才會把後半部寄出去。』也有人告訴我們，只要我們支持他的解答，他願意分給我們十分之一的獎金；否則，他寧可把解答投寄給蘇聯的期刊，讓德國數學界分享不到這份榮譽，而大丟其臉。

「這些所謂的解答，只不過動用了非常初等的數學知識，然而還是要花費極大的心神才看得懂在說什麼，才找得出錯誤何在。應徵者有不少受過專科教育，因為在自己工作崗位上不受重視，希望藉解決 Fermat 問題成名。我拿過幾封應徵信給醫生看，醫生認為寫信的人有嚴重的精神分裂症。」 ^註6