楊重駿;楊照崑

導言 凸函數的定義及其性質 蓋理論及其應用

導言

不等式的理論很早就被大數學家 Gauss, Cauchy 等人所著重研究。較近的有 Hardy, Littlewood 及 Polya 等名數學家。我們可以說數學分析，不論是純理論或應用方面，都需要不等式的運算。 如一般條件不等式、絕對不等式、三角不等式、幾何不等式、積分或微分不等式，等等種類五花八門。 因而解決它們的技巧也就多彩多姿，不勝枚舉了。同時也就沒有一些什麼萬靈的理論來對付不等式。 但在1923年蕭爾 (Schur) 把某類常見及有用的初等或高深的不等式歸類起來， 演繹出一套較完備的理論來處理具某些特性的不等式。這也就是我們在此要介紹的「蓋理論」(Majorization Theory)， 到目前為止有關此方面最佳的研究著作為 Hardy, Littlewood 及 Polya 合著的書¹ 及最近 Marshall 及 Olkin 合著的書 ² 。 這個理論涉及到凸函數 (convex function) 的性質，所以我們將先介紹一下什麼樣的函數稱為凸函數（或上凹函數），與此相對的是凹函數 (concave function) 或下凹函數。