黃武雄
筆記：阮貞德

第一節、 第二節、 第三節、 第四節、

這幾年來，幾何課程在大學普遍不受重視，不知在暑修班的情形是不是也一樣？事實上幾何的訓練幫助學生較直覺的去看一個問題，同時因為幾何發展源遠流長，一些古典的內容似乎不宜言廢。

目前的情況是：高中解析幾何中留下來的一些問題在大學裡並沒有交待它們在十九世紀怎樣得到完滿的解決。 相應地，高中代數──基本上是方程式論──，到大學裡便交待了 Galois Theory，作為方程式論的完結篇。高中的排列組合在大學課程中也有機率與統計來提升它，而往上發展。 只有解析幾何，除了以它為部份的基礎，發展微積分外， 大家好像忘記非歐幾何與射影幾何。 在數學思想發達史上，曾猛烈衝擊歐氏幾何兩千多年來無比權威的壟斷地位。 非歐幾何從歐幾里得幾何的公理結構上去掙脫西方重質數學 (qualitative mathematics)的人為束縛。 射影幾何則站在結合歐氏平面的線性代數結構與幾何結構的立場上去彌補歐氏平面的缺陷。這番幾何學上的革命與微積分(及分析的嚴格基石)，Galois 理論的創立，同為近代數學思想史上的大事。

現在，這段歷史在各大學都不教了（在暑修班也是不教？）。只是從來沒有人好好說明過為什麼不教，是不是只因美國大多數的大學都不教的緣故？（在美國，學分析、學代數的人多，學幾何的人少。後者只好集中在可數的幾個大學校。）在自由經濟的社會，不能單從熱門的程度來說明什麼是重要的，什麼是次要的。前十年的 Topology 很熱門，近幾年學的人就少多了。天下事有起伏不定，一天到晚都在變的，也有不斷在進步，但持續而有規律的，教育是長期的工作，要看住的是那些持續在進步的事物。

非歐幾何是異於歐氏幾何的另一種幾何，它承認了歐氏幾何的前四個公理：

• I. Axiom of Incidence(關聯公理)
• II. Axiom of Betweeness(次序公理)
• III. Axiom of Motion(全等公理)
• IV. Axiom of Continuity(完備公理)

但將第五個公理（即所謂平行公理 Axiom of Parallelism）：

• V.「過一直線外一點，有唯一的一條直線與原來直線永不相交（意即平行）」。

改成

• V.「過一直線外一點，有無窮多條直線與原來直線永不相交」。

基本上，非歐幾何不同於歐氏幾何，就像球面幾何異於平面幾何一樣， 但射影幾何卻是歐氏幾何的延續，是歐氏幾何的拓廣。今天我們不談非歐幾何，因為介紹非歐幾何的入門書較豐富，我們來談射影幾何，設法在一個小時中，把射影幾何的精神講出來。

第一節、

很多人小時候都曾遇到一個迷惑不解的問題：

「在平坦的地平面上（假定大地像古代人所想像的那樣平坦而無垠），平行鐵軌一直伸展出去，它們會不會相交在無窮遠處？」人會有這樣的懷疑，是因射影幾何的關係。 站在鐵道上，出現在視平面上的鐵軌不呈兩平行線的樣子，而呈為下圖所繪的

換句話說，地平面上的平行鐵軌 l₁,l₂「射影」到視平面 π 上來的時候便成了l₁^*, l₂^*，它們幾乎交會在一點 ，這點 便是視覺上的無窮遠點，因為它對應於鐵軌向無窮遠方伸展後的「假想的交點」。

於是我們想起一種綴補無窮遠點進來的方法：起初作算術時， 表示很大很大， 表示很小很小（雖然絕對值也是很大很大），就像家財萬貫與負債纍纍的兩個人一樣是南弦北轍，但後來考慮到比例時，當兩數相除，分母由很小的正數過渡 0 到負數那頭時，商便從 躍到 。例如 或一些有理函數的函數值，常一邊趨於 ，另一邊又從 跑出來。這值得我們想到一個人為的方法，把 與 接起頭來，換句話說，好好的一條直線當 與 接在一起，我們好像看到了它走向無窮遠又繞著圈子從負無窮遠回來了。

於是我們假想用圓來「代表」直線，代表的方式是：

在圖中，任意直線上的一點 P，以圓上的 P_* 來「代表」這樣直線上所有的點都在圓上有一個「代表」，而圓上除了北極 N 點以外，每一點也都正好「代表」代表了直線上的一點。注意當 P 趨近於 時，它的代表 P_* 則趨於 N 點，而當 P_* 繞過 N 點，其在直線上所代表的點，則又自 處回來。於是我們

將 N 看作無窮遠點 (= = )

我們很自然的將這種想法推廣於平面上來，為了要補進無窮遠點，先試著模仿上述的情形考慮以「球面來代表平面」，然後再問這樣通不通？

考慮所謂的Stereograpic射影：

仍以球面上的 P_* 點來代表平面上的 P 點，而以北極 N 來代表無窮遠點，用這樣的方式，我們補進了無窮遠點，可是這樣的補法通不通呢？

談「通不通」是相對的。要看基於那種觀點。從「拓樸」(Topology) 的觀點，這種補法當然是通的，（事實上它就是所謂的 one-point compactification）。從「保角幾何」(Conformal Geometry) 的觀點，這種補法也是通的（注意在將 P 對應 P_* 的對應下，平面與球面竟然是保角的！）但是從「射影幾何」的觀點來說，這樣的補法，卻是不通的。

要把這些說清楚我們須回到一個老問題：