在1872年，Klein 在 University of Erlangen 的一個演講中，提出了著名的 Erlangen Program。對所謂幾何作了界說，他作這番界說是基於十九世紀以來，各種不同的幾何紛紛出現，但彼此之間的比較涵義卻常含糊。

1822年，Poncelet 承繼自十七世紀以來 Desargues,Pascal, Monge, L. Carnot 及 Brianchon 的成果， 把射影幾何以解析方法代替綜合法，作較有系統的整理，建立了射影幾何的輪廓。 而1829-33年間 Lobatchevsky 與 Bolyai 分別發表了非歐幾何的基礎。 隨後 Riemann (1854) 為正常曲率的橢圓幾何找到了球面的模型。 1868Beltrami 則替負常曲率的雙曲幾何建立在 Pseudosphere 的模型上。各支幾何分門林立，人類對各支幾何的認識越來越豐富了，但幾何的基本特徵是什麼？

Klein 的界說是「各支幾何都是要研究空間 (space) ¹ 在某特定運動群 (group of transformations) 下的種種不變性或不變量 (invariants)」。 比如說歐氏幾何是要研究平面（或高維空間）在剛性運動之下的不變性(量)，例如長度，角度，面積等等，列個表來說明各種不同幾何的內涵與關係。

就考慮二維的情形：

	Space×	Group of	Invariants
		Transformations G
(1)歐氏幾何	平面(R2),	G0	長度，角度，面積，
(Euclidean		{rigid motions	線性(共點性及共
Geometry)		of R2 },	線三點的分比)
			關聯(incidence)
			交比(crossration)。
(2)仿射幾何	,		線性關聯，交比。
(Affine		{affine trans-
Geometry)		formations of R2},
(3)射影幾何		{?},	關聯,交比。
(Projective	{無窮遠點},
Geometry)

注意1: 表中的仿射變換(Affine transformation) 指的是linear transformation + translation。 如果考慮仿射幾何(affine geometry)，那麼談長度，談角度，談面積， 都變成沒有意義的事，因為長度，角度，面積在仿射變換下都會改變， 都不再是不變量了。不過共線三點經仿射變換之後仍然是共線。 (因此關聯性(incidence)是不變性)。同時注意這三點間的兩距離雖然變了， 但不管是什麼仿射變換，共線三點間的距離的分比( 卻始終不變，所以說共線三點間距離的分比是不變量， 後者與關聯性合在一起，事實上就是所謂的「線性」(linearity)。所以合併起來說：「線性是仿射變換下的不變性」。)

注意2: 通常，當運動群在增大（例如由 G_o 擴張到 G_a），則不變性(或量)相應地在減少。

注意3: 我們常將所選的運動群，當作該種幾何的結構(structure)正如在代數對象(如群，環，體)上把集合上的運算當作該代數對象上的結構一樣，有了空間(Space)，沒有給定運動群，還不成為幾何，給了某運動群之後，要討論的不變性(或量)的範圍確定了，幾何的結構便清楚了。這便是Klein的Erlangen Program的意思。

注意4: 對於射影幾何，我們的「空間」(Space)是平面加上一些無窮遠點，但它的結構是什麼呢?這個代表其結構的運動群又怎樣以最簡潔的方式表示出來?這便是以下要談的問題。