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．原載於數學傳播第三卷第三期
 

談統計應用

鄧進財

 
 

唸純數的常挖苦唸統計的說：「你們唸統計的常以算術平均數來代表全體 (population)，那麼你們一手泡在沸水中，另一手浸在冰水中，一定會感到很舒服，因為你們的平均感受只有 $50^{\circ}$C 而已。」 而唸統計的也不甘示弱的說：「你們唸純數的說 a=b, b=c，則 a=c，那麼你們一定會熱愛女朋友的另一個愛人，因為你們愛你們的女朋友，而你們的女朋友愛另一位男朋友，所以你們也會愛你們的情敵。」當然，這都是「自古文人相輕」「外行批評內行」的寫照。事實上，唸過統計的人都知道全體十分集中時，以算術平均數代表全體始有意義；而學過數學的人也都明瞭「等號」是必須具備有傳遞性的（此即，若 a=b, b=c 則 a=c），可是，上述所說的「愛」並不滿足傳遞性。

在面對不確定情況下，統計是一種能夠幫助我們做出聰明決策的科學方法。下面，讓我們來談談統計應用的一些實例。


例題1. 一計程車問題

國外某地的計程車較少，一位統計學者在該地的某街角等候計程車，眼看來了幾部計程車都載客而過，這位統計學者開始懷疑這個城市到底有幾部計程車，以致於不夠應用。於是他開始記下載客而過的計程車車號，依次如下：

405, 280, 73, 440, 179

接著來了一部空車，載走了統計學者。

假如該城市計程車的編號是從1號開始連續編排下來，而且空的計程車走在城裏做隨機性的環繞，那麼，你若是這位統計學者，你將如何從上述記錄的資料來推測該城市共有幾部計程車?

這個問題的估計方法很多，在此我們將簡介兩種簡單的估計方法，並加以粗略的檢定。

   
 
一、平均差距法

假設該城市計程車的編號是連續的，而第一部的編號為 1，最後一部設為 M。 現在，如果我們能夠猜測第 440 部計程車與第 M 部之間的差距，那麼我們就可以 正確的推測 M 的數值。從直覺上，讀者可由圖1 得知：我們可引用前五部車號的平 均差距，來代表第 440 部與最後一部之間的差距，因此我們可以推測

\begin{displaymath} M=440+\frac{1}{5} (72+105+100+124+34)=440+\frac{1}{5} (440-5)=440+87=527 \end{displaymath}

統計學者上車後，詢問司機這個城內究竟有幾部計程車，結果司機回答說： 城裏共有 550 部計程車。則根據上述的平均差距法所做的估計，其相對誤差僅 為 (550 - 527) /550 = 0.04，因此，上述的估計方法是十分的理想。


圖1：平均差距法

   
 
二、中位數法

圖2顯示這五部計程車車號的中位數為280，根據抽樣的特性，亦即樣本足以代表整個 全體的特性，我們可以合理的推測280也可能是城裏所有計程車車號的中位數，則

(M+1)/2=280

亦即 M=559，此與實際數值550部的相對誤差為( 559 - 550) /500 = 0.02， 因此採用中位數的估計方法，也是十分的美好。


圖2：中位數法

事實上，我們上面所介紹的方法是數列分析 (serial number analysis) 中最簡單而理想化的解法，因為實際上計程車的編號並不是從1號連續下來的，而且計程 車所環繞的路徑，通常並不是隨機性的亂兜圈子。數列分析在第二次世界大戰時，盟 軍曾用以分析、估計戰場上德軍戰車的數量，戰後發現利用這種統計方法估計德軍戰 車的數量相當精確。

   

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編輯：陳文是 最後修改日期：4/26/2002