談統計應用 (第 2 頁)

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談統計應用（第 2 頁）

鄧進財

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．原載於數學傳播第三卷第三期
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例題2. 估計野生動物的存量

在報章雜誌上，我們經常看到某某動物已瀕臨絕種邊緣的報導，你們一定會奇怪這些科學家如何知道那些野生動物的數量呢?例如：鯨漫遊在佔全球表面積約 2/3強的海洋內，而且大部分的時間又都潛伏在水底，我們如何來估計各類鯨的存量呢?下面讓我們來介紹二種不同的估計方法，分別說明如下：

一、記號法

石缸內有一大堆彈珠，假設我們不能夠將彈珠整個倒出來一一計數，而又想知道整缸內彈珠的個數，我們可以利用隨機抽樣的理論，先從缸內任取幾個彈珠，假設取 10個，作記號後再放回缸內，加以完全的攪亂，然後再從缸內抽取一些彈珠，分別計算這些彈珠中有記號和沒有記號的個數比，假設計算結果是沒有記號的彈珠為有記號彈珠的四倍，那麼應用隨機抽樣:樣本足以代表全體的特性，我們可以推測整個有記號與沒有記號的彈珠比為 1:4因此可推知共有 40個沒有記號的彈珠，也就是說，總共有 50個彈珠在石缸內。

利用相同的方法，我們可先捕捉一些鯨，在厚脂的鯨背上烙入 0.3公尺的圓柱形金屬，再放回海中任其游動。其後我們可由捕獲的鯨中，計算有記號與沒有記號的比率，即可推測出鯨的總數。

這種簡單的設計，雖然在執行上有很多因難，但仍然被用來估計很多野生動物的總數。可是，利用這種方法來推測鯨存量，在執行上尚有很多因素必須加以考慮，譬如:將金屬烙入鯨背，是否就不會因跳躍而脫落？工人在寒冷的暴風雨中開剖像房子那麼大的鯨，是否會注意到那個小小的柱形金屬?而且鯨不像彈珠，牠是有一定的壽命(若不被捕殺，一般鯨能活到四十多歲)。為了解決這些複雜的問題，我們需要連續好幾年的實驗和比較過程，把前述的方法加以更精密的推展。例如:我們連續兩年捕捉相同數目的鯨，作完記號後放回，則兩年後我們從被捉的有記號鯨中，計算第1年與第2年被作記號的比率，即可推算這段期間鯨被捕或自然死亡的比率。

二、捕捉法

海底鯨的存量多，則鯨被發現的次數就多，於是鯨被捕量亦增加，反之則否。因此我們可假設鯨被捕的機率是固定的;那麼我們即可由每年捕到鯨的數目，求得鯨存量的估計值。例如:這一期我們捉到 25,000條鯨，比前一期少了 10%，則我們可由此推知這一期共有 25,000 /0.10 = 250,000條鯨，其原因說明如下:

設前一期有 x條鯨，且鯨被捕的機率為 p，則這一期應有 (x-xp)條鯨(不考慮自然死亡與新生的鯨)，再由已知條件，得下列聯立方程式:

$\begin{displaymath} \begin{array}{cr} (x-xp)p=25000 & (\mbox{{\fontfamily{cwM0}\... ...ly{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 31}} 2) \\ \end{array}\end{displaymath}$

由公式1和2得知，

$\begin{displaymath} 1-p=1-\frac{1}{10} \Longrightarrow p=\frac{1}{10} \end{displaymath}$

因此這一期原有的鯨數為

$\begin{displaymath} (x-xp)=25000\times 10=250000 \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 145}} \end{displaymath}$

然而，事實上並非如此單純。例如:捕鯨船在海上各種不同的氣候下作業，捕獲的鯨量必然大有出入;又捕鯨公司不斷地採用新技術，改善效率;加以鯨不斷的自然死亡和新生幼鯨，我們豈可假定鯨被捕的機率永遠不變?為了克服這些困難，每隔一段期間之後，我們必須將p根據實際情形，加以適當的調整。

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編輯：陳文是

最後修改日期：4/26/2002