宋元兩代，中國數學進入了黃金時期，尤其來到十三世紀，成就更趨輝煌。不只相對於中國本身古來的數學，得到空前的發展，放眼於當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數學水準，也是處於遙遙領先的地位。

宋元黃金時期的數學家，一般以南方的秦九韶、楊輝， 北方的李治、朱世傑為代表，合稱秦、李、楊、朱四家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」， 開創了高階等差級數的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監工作) 的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由於隨乘隨加的方法 暗含著二項式定理的係數分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其後不久劉益 ，秦九韶作一般高次方程的數值解法舖路。在西方，高次方程的數值解法要延到十九世紀 才由 Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數學慣稱為Horner method(霍納方法)。

四家之後，還有王恂，郭守敬，在編《授時曆》時引入求解球面直角三角形的方法。

　　四家之中，秦九韶的工作較廣博，楊輝重視通俗實用， 李治深入而有創意，朱世傑乃集大成。 清《疇人傳續篇 》中說:「漢卿(朱世傑) 在宋元間,與秦道古(九韶),李仁卿 (李治)可稱鼎足而三。道古正負開方，仁卿 天元如積，皆是上下千古; 漢卿又兼包家有，充類盡量，神而明之, 尤超越秦，李兩家之上。」

秦九韶「性極機巧，星象、音律、算術以至於營造等事，無不精究。」 他在數學上的主要兩個貢獻是解高次數值方程及建立大衍求一術。 他的數學思想則帶有神秘主義的傾向，他在兵荒馬亂中編《數書九章》， 序中說:「不自意全於矢石間，嘗險罹憂，荏苒十[示巽](十年)， 心槁氣落，信知夫物莫不有數也。」可是從「物莫不有數」的思想出發， 一方面正確的主張數學可以「經世務，類萬物」，另一方面則掉入神祕主義的窠臼， 認定數學又可「通神明，順性命」。雖然他不能像李治正確的看出「謂數學雖窮， 斯可;謂數不可窮，斯不可」「彼其冥冥之中，固有昭昭者存」，將數學與科學從神學與玄學的束縛中解放出來; 但與同時期歐洲的數學家，甚至與十七世紀文藝復興以後思想上最進步的 笛卡兒，牛頓等人，作個比較，歐洲數學家形而上主義的傾向當為更加濃厚。

李治與朱世傑所發明的「天元術」、「四元術」正是代數方法的關鍵。 天元術就是代數上的未知數原理的充分體現。 「天元」也就是「未知數」。李治《測圓海鏡》(1248)有一個題目: 「（假定圓城一所，不知圓徑），丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步，見之，（問徑幾何？）」天元術討論怎樣列出其方程：

「天元術」與「四元術」,可以說是把代數方法發揮到了極致。

先將秦李楊朱四家的主要著作列表於下：

秦九韶：《數書九章》(1247)，全書分九類：大衍、天時、田域、測望、賦役、錢榖、營建、軍旅、巿易。每類9個題目，共81題。 　

李治：《測圓海鏡》(1248)，《益古演段》(1259)。

楊輝：《詳解九章算法》(1261)，日用算法(1262)，楊輝算法(1274-1275))。

朱世傑：《算學啟蒙》(1299)，《四元玉鑑》(1303)。

由於他們的成果十分豐富，我們只抽出其中較有代表性的題材，依方法論分類如下：

(i)在代數方法上面，屬整數論的有

不定方程中的聯立一次同餘問題(即前述孫子問題，秦九韶稱之為「大衍求一術」，找到了一般理論，西方人稱之為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder theorm)，同樣的理論十八世紀以後逐步由尤拉(1707-1789)與高斯 (1777-1855)建立。)

而有關未知數原理的有　

一般高次方程的數值解法(賈憲(十一世紀中期)、劉益、秦九韶(1247))

未知數原理，多項式運算，(以李治天元術(1248)為代表。)　

多元(最多四元)高次聯立方程的求解(朱世傑《四元玉鑑》以「四元術」 (1303)逐步消元，西方在十八世 紀Bezout(1779)才出現有系統的討論)

二項係數分配（即所謂「巴斯卡三角」，(賈憲所作開方作法本源，載於楊輝詳解《九章算法》(1261)一書中。而(朱世傑亦有《古法七乘方圖》，在西方巴斯卡(法)作此圓時已晚賈，朱四五百年)

(ii)在轉化方法上面
由於「形」與　「量」之間個別的轉化關係到隋唐時大體已經完備， 除了秦九韶在《數書九章》中繼續求解較為複雜的面積體積測量等問題， 及郭守敬進一步作球面三角、垛積問題以外，宋元時期 便沒什麼重大的進展。這時候中國數學若想進一步發展，把握形與量間有系統的轉化 關係，就要有更強烈的社會需求。譬如像西方數學在十七世紀前期，為了描寫質點 或砲彈的運動軌跡，須要將曲線用代數的表示方式寫下來，才能進一步計算， (例如費馬(Fermat)想算砲彈射程最遠時，發射角應該多少?(45度))， 這種狀況之下，費馬,笛卡兒等人便開始引入座標，這才產生了解析幾何，把握了轉化方法的關鍵。可是當時的中國社會沒有這樣的條件。有了很多「形」與「量」的個別關係，但產生不出形與量之間有系統的轉化關係。(有一種說法:火藥既為中國人所發明，如果中國社會步入資本主義，須要在商業與軍事上向外擴張，那麼不只是解析幾何，就是微積分也自然會發生在中國。)

值得注意，不管在代數方法或轉化方法上，中國數學家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉向去做些定性的工作。例如在代數方法上有了天元術、四元術，便須轉個方向去考慮根與係數的定性關係，才能再往前推進，做出像十九世紀 Abel, Galois 的方程論那樣的工作。而在轉化方法上，有了個別關係也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統的轉化關係，發展出像解析幾何之類的工作。

(iii)在局部化方法上面
有關變量數學的有三次函數內插法(郭守敬「平、立、定」三差術，朱世傑更算得牛頓公式

) 但變量數學終究不曾出現在中國，道理還是社會條件不夠，當時中國社會以天文曆法所需的數學最為繁複。內插法是一種逼近，隱約有了變量數學成份。但變量數學得以發展的真正關鍵在於引入變化率。日月五星的運行雖也有變量，但運行的瞬間速度在當時還不必去考慮，不像在歐洲，力學已發展到須要找出運動規律的時候了。十三世紀前的中國數學在局部化方法上所作的貢獻只限於三次函數的內插逼近及早先祖沖之的 Cavalieri 原理。

宋元以後，明代理學對科學技術與思想發展造成一定束縛。除程大位《算法統宗》繼吳敬,徐心魯等人將籌算改良，發展為珠算，便利四則計算之外，明朝兩百年間，不僅沒繼承宋元數學而持續發展，甚至宋元著作散失 ，數學水準普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續來華之時，中國數學正處低潮時期，兩種文化的交會結束了中國本土數學的發展。

[1]時間不很確定，約在公元三,四世紀. 這個記錄在西方，直到十六世紀法國viéte才將它打破，推到十位小數。而中世紀伊斯蘭國家Al-Kashi則比Vite稍早於1427年便求到小數第十六位.

[3]九章算術也有這個公式，但沒有證明，埃及人也早在公元前一千年以前便有此公式，當然也沒有證明。

[4]雖然笛卡兒革命性的指出聖經不是知識的來源，知識要依靠理性。引起教會查禁他的言論，但笛卡兒仍是衷心相信上帝依據數學規律創造自然。 並想盡辦法用他所標榜的「理性」去證明上帝的存在。牛頓也把發現科學成果的動機歸於要了 解上帝創造的自然，而將科學完整的理論作為上帝存在的證據，晚年時， 牛頓更想考據天文學中發生的特殊事件的日期，試圖找出它們與聖經故事的關聯。這些宗教的束縛在中國數學家的身上是不易看到的， 這種玄學思想對於研究數學的風格，也產生很大的影響。