淺談幾個或然率上的詭論

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．原載於數學傳播第二卷第三期
．作者當時任教於中央數學系

淺談幾個或然率上的詭論

熊昭

I
II
III
IV
V

語言是人用來描述自然現象，社會現象的工具，也是溝通思想的工具。因此，不止是要言之有物，而且要先「有物」，再「言之」。作文，造句若是違反了這個原則，就會「出笑話」；最有名的例子就是「矛、盾」了。（那個賣「矛、盾」的先生，大概只想到賣貨賺錢。）數學上把「出笑話」的而又同時費解的敘述稱為詭論 (paradox)。平時提到這些詭論，大家都感到荒謬，卻似乎沒有強調出荒謬的原因。我們將在下面談幾個或然率上的詭論。儘量避免術語，以利高中同學閱讀。

王先生賣蜂蜜，一日淡似一日。李先生想要弄清楚情況，於是做了如下的推理。李先生用 X 代表蜜中水的份量與蜜的份量的比值。李先生想，王先生的招牌是一杯水兩杯蜜。所以 X 一定比 $\frac{1}{2}$ 大。另方面，王先生摻水絕不敢摻到一杯水一杯蜜，所以 $X\leq 1$ 。既然 X 是在 $\frac{1}{2}$ 與 1 之間，那麼 $X\geq\frac{4}{5}$ 的或然率就該是 $(1-\frac{4}{5})(1-\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} = 0.4$ 。也就是說，王先生用多於四杯的水來配五杯蜜的可能性是百分之四十。王先生真狠。

李先生拿著這些道理去找王先生。王先生不慌不忙的說，我們用 Y 表示蜜水中蜜的份量與水的份量的比值。照你的意思，Y 是在 1 與 2 之間。那麼 $Y<\frac{5}{4}$ 的或然率就是 $(\frac{5}{4}-1)/(2-1)=0.25$ 。因此我老王用多於四杯的水配五杯蜜的可能性是百分之二十五，不是百分之四十。老李啊！別冤我。

毛病出在那裏呢？我們知道，李先生在做計算的時候，其實是把 X 的分佈假設為均勻分佈，也就是說，X 的值是在 $\frac{1}{2}$ 與 1 之間，而且對任意的 a,b,c,d 四個數，只要 $\frac{1}{2}\leq a<b<c<d\leq 1$ ，b-a=d-c，則 X 的值落在 a 與 b 之間的或然率就要等於 X 的值落在 c 與 d 之間的或然率。王先生計算的時候，也是把 Y 假設成均勻分佈。大家都知道，X 與 Y 之間有一個固定的關係。根據這個關係，讀者不難算出，如果 X 是均勻分佈的話，則 Y 就不是均勻分佈。因此把兩個都假設成均勻分佈是錯誤的。（其實，李先生是想當然的，不經意的把 X 的分佈假設成均勻分佈。到底 X 是不是均勻分佈，該怎樣判定它，就不在這討論了。）(Bertrand's paradox)

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編輯：黃信元

最後修改日期：4/26/2002