甲、乙兩人玩丟擲銅幣賭博的遊戲，雙方約定，如果擲銅幣出現的是人頭，則甲付給乙兩元。如果出現的是梅花，則須再擲一次銅板；如果出現的仍是梅花，則須繼續擲，一直等到第一個人頭出現才停止。這時，甲要付給乙 2n 元，其中 n 為丟擲銅板的次數。
問：在遊戲之初，乙應該先付給甲多少錢，這個遊戲才算公平？
我們先來看個簡單的例子。如果丙、丁兩人也玩擲幣打賭的遊戲。他們的規則是：如果出現的是人頭，則丙付給丁 2 元；如果出現的是梅花，則丙就不付錢給丁。整個遊戲只須丟一次銅幣就要結束算帳。問：在遊戲之初，丁應該先付給丙多少錢，這個遊戲才算公平？丁在一次遊戲中有二分之一的機會可以得到兩元，有二分之一的機會得不到錢；因此，我們說，平均起來，丁可以從丙那裏得到
 元。根據這些，我們認為公平的做法是丁在遊戲之初先付一塊錢給丙。
現在我們依照同樣的道理來處理原來的題目。我們知道，在遊戲結束的時候，乙可能得到 2 元，也可能得到 4元，8元，16元，……。他得到 2元的或然率是  ，得到 4元的或然率是  ，得到 8元的或然率是  ，……。因此，平均說來，乙可以從甲那邊得到
根據這個，我們是不是認為要乙先付「無限多」的錢給甲才算公平呢？
顯然的，耍乙先付「無限多」的錢給甲是件荒謬的事。首先，這個「無限多」的錢要如何解釋。好了，我們就姑且認為「無限多」的錢是指的比任意多還要多的錢。則明明乙只能從甲那邊得到有限多的錢，我們怎麼可以要乙先付無限多的錢給甲。
我們知道，耍乙付那個平均數給甲是有數學上的依據（大數法則），而且也符合直觀要求的。但是，該留意到的是，當著平均值不是一個數的時候，（譬如說是  ），我們就不該把數學上的結果硬梆梆的壓到乙的身上。總結的說，要求乙在事先付一個數目來使得遊戲公平是辦不到的事。(St. Petersburg's paradox)
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