認識連分數 (第 4 頁)

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認識連分數（第 4 頁）

林聰源

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．原載於數學傳播第二卷第三期
．作者當時任教於清大數學系
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§3. 一次不定方程式 ax+by=c 的解

印度 Aryabhata 根據上述之連分數法則，於紀元476年成功地解決了一次不定方程式，這是史上最早使用連分數的記載。Aryabhata 的方法是這樣的：我們可假設正整數 a 與 b 互質，而且 a>b，將分數 $\frac{a}{b}$ 展成連分數，如 §1. 所述，假設 $\frac{a}{b}=[a_0,a_1,\cdots,a_N]$ 。令 $\frac{p_{N-1}}{q_{N-1}}$ 與 $\frac{p_N}{q_N}$ 為最後兩個漸近值，則其中 $\frac{p_N}{q_N}=\frac{a}{b}$ 因兩者俱為最簡分數，故p_N=a，q_N=b，再由公式2， $p_Nq_{N-1}-p_{N-1}q_N=\pm 1$ ，即 $aq_{N-1}-bp_{N-1}=\pm 1$ ，（為方便計，可取正號），代入方程式 ax+by=c=c(aq_N-1-bp_N-1)，並展開、移項、化簡，得

$\begin{displaymath} \frac{cq_{N-1}-x}{b}=\frac{y+cp_{N-1}}{a}=t, \end{displaymath}$

因而解得

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} x=cq_{N-1}-bt\\ y=at-cp_{N-1} \end{array}\right. \quad t=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{displaymath}$

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編輯：李渭天 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002